Номер 288, страница 35 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

288. В нижнем основании цилиндра на расстоянии $d$ от его центра проведена хорда, которую видно из этого центра под углом $\alpha$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с точкой окружности нижнего основания, образует с плоскостью основания угол $\varphi$. Найдите объём цилиндра.

288. В нижнем основании цилиндра на расстоянии $d$ от его центра проведена хорда, которую видно из этого центра под углом $\alpha$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с точкой окружности нижнего основания, образует с плоскостью основания угол $\varphi$. Найдите объём цилиндра.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$, где $R$ – радиус основания, а $H$ – высота цилиндра. Для нахождения объема необходимо определить радиус и высоту через данные в задаче величины.

Сначала найдем радиус основания $R$. Рассмотрим нижнее основание цилиндра, которое является кругом с центром $O$. В этом круге проведена хорда на расстоянии $d$ от центра. Пусть это будет хорда $AB$, а $M$ – ее середина. Тогда длина перпендикуляра из центра к хорде $OM = d$ и $OM \perp AB$. По условию, хорда видна из центра под углом $\alpha$, то есть $\angle AOB = \alpha$. Треугольник $AOB$ является равнобедренным, так как $OA = OB = R$ – радиусы. В равнобедренном треугольнике высота $OM$, проведенная к основанию, является также биссектрисой, поэтому $\angle AOM = \frac{\alpha}{2}$. Из прямоугольного треугольника $OAM$ (с прямым углом $M$) имеем: $\cos(\angle AOM) = \frac{OM}{OA}$, или $\cos(\frac{\alpha}{2}) = \frac{d}{R}$. Отсюда выражаем радиус:

$R = \frac{d}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$

Теперь найдем высоту цилиндра $H$. Пусть $O'$ – центр верхнего основания, а $P$ – точка на окружности нижнего основания. Отрезок $O'P$ образует с плоскостью нижнего основания угол $\phi$. Проекцией наклонной $O'P$ на плоскость нижнего основания является отрезок $OP$, который равен радиусу $R$. Отрезок $OO'$ перпендикулярен плоскости основания, и его длина равна высоте цилиндра $H$. Таким образом, треугольник $O'OP$ – прямоугольный (с прямым углом $O$). Угол между наклонной и ее проекцией равен $\angle O'PO = \phi$. Из этого треугольника находим соотношение между катетами $H$ и $R$: $\tan(\phi) = \frac{OO'}{OP} = \frac{H}{R}$. Отсюда высота равна:

$H = R \tan(\phi)$

Подставив в это выражение найденное значение $R$, получим:

$H = \frac{d}{\cos(\frac{\alpha}{2})} \tan(\phi) = \frac{d \tan(\phi)}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$

Наконец, вычислим объем цилиндра, подставив выражения для $R$ и $H$ в формулу объема:

$V = \pi R^2 H = \pi \left( \frac{d}{\cos(\frac{\alpha}{2})} \right)^2 \left( \frac{d \tan(\phi)}{\cos(\frac{\alpha}{2})} \right) = \pi \frac{d^2}{\cos^2(\frac{\alpha}{2})} \frac{d \tan(\phi)}{\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{\pi d^3 \tan(\phi)}{\cos^3(\frac{\alpha}{2})}$

Ответ: $V = \frac{\pi d^3 \tan(\phi)}{\cos^3(\frac{\alpha}{2})}$