Страница 49 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

96. Найдите угол между плоскостями:

1) $7x - 2y + z + 14 = 0$ и $4x + 3y - 22z - 40 = 0$;

2) $x - 3y + z + 1 = 0$ и $6x + 4y - 3z - 2 = 0$.

96. Найдите угол между плоскостями:

1) $7x - 2y + z + 14 = 0$ и $4x + 3y - 22z - 40 = 0$;

2) $x - 3y + z + 1 = 0$ и $6x + 4y - 3z - 2 = 0$.

Угол $\phi$ между двумя плоскостями, заданными общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, равен углу между их нормальными векторами $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$. Косинус этого угла вычисляется по формуле:

$\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$

Даны плоскости $7x - 2y + z + 14 = 0$ и $4x + 3y - 22z - 40 = 0$.

Нормальный вектор первой плоскости: $\vec{n_1} = (7, -2, 1)$.

Нормальный вектор второй плоскости: $\vec{n_2} = (4, 3, -22)$.

Найдем скалярное произведение нормальных векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 7 \cdot 4 + (-2) \cdot 3 + 1 \cdot (-22) = 28 - 6 - 22 = 0$.

Так как скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, эти векторы перпендикулярны. Следовательно, и сами плоскости перпендикулярны.

$\cos \phi = \frac{0}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|} = 0$, откуда $\phi = 90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $90^\circ$.

Даны плоскости $x - 3y + z + 1 = 0$ и $6x + 4y - 3z - 2 = 0$.

Нормальный вектор первой плоскости: $\vec{n_1} = (1, -3, 1)$.

Нормальный вектор второй плоскости: $\vec{n_2} = (6, 4, -3)$.

Найдем скалярное произведение нормальных векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 6 + (-3) \cdot 4 + 1 \cdot (-3) = 6 - 12 - 3 = -9$.

Найдем модули (длины) нормальных векторов:

$|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 9 + 1} = \sqrt{11}$.

$|\vec{n_2}| = \sqrt{6^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 16 + 9} = \sqrt{61}$.

Теперь найдем косинус угла между плоскостями:

$\cos \phi = \frac{|-9|}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{61}} = \frac{9}{\sqrt{671}}$.

Следовательно, угол $\phi$ равен арккосинусу этого значения:

$\phi = \arccos\left(\frac{9}{\sqrt{671}}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{9}{\sqrt{671}}\right)$.

97. При каком значении n плоскость $x + 6y - 2z + 5 = 0$ будет параллельна прямой CD, если C (1; -1; 3), D (n; 1; 6)?

97. При каком значении $n$ плоскость $x + 6y - 2z + 5 = 0$ будет параллельна прямой $CD$, если $C (1; -1; 3)$, $D (n; 1; 6)?$

Условие параллельности прямой и плоскости заключается в том, что направляющий вектор прямой должен быть перпендикулярен вектору нормали к плоскости.

1. Найдём вектор нормали $\vec{N}$ к плоскости $x + 6y - 2z + 5 = 0$. Координаты этого вектора равны коэффициентам при переменных $x, y, z$ в уравнении плоскости: $\vec{N} = (1; 6; -2)$.

2. Найдём направляющий вектор $\vec{s}$ прямой $CD$, проходящей через точки $C(1; -1; 3)$ и $D(n; 1; 6)$. Для этого вычтем из координат конца вектора (точка D) координаты его начала (точка C): $\vec{s} = \vec{CD} = (n - 1; 1 - (-1); 6 - 3) = (n - 1; 2; 3)$.

3. Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Запишем это условие для векторов $\vec{N}$ и $\vec{s}$: $\vec{N} \cdot \vec{s} = 0$.

Подставим координаты векторов и решим полученное уравнение: $1 \cdot (n - 1) + 6 \cdot 2 + (-2) \cdot 3 = 0$ $n - 1 + 12 - 6 = 0$ $n + 5 = 0$ $n = -5$

Следовательно, при $n = -5$ прямая CD будет параллельна заданной плоскости.

Ответ: $n = -5$.

98. При каких значениях $a$ и $c$ плоскость $ax - 6y + cz - 10 = 0$ будет перпендикулярна прямой $BC$, если $B (8; -4; 12), C (10; -2; 15)$?

98. При каких значениях a и c плоскость $ax - 6y + cz - 10 = 0$ будет перпендикулярна прямой BC, если B (8; -4; 12), C (10; -2; 15)?

Нормальный вектор плоскости, заданной уравнением $ax - 6y + cz - 10 = 0$, имеет координаты $\vec{n} = (a; -6; c)$. Этот вектор перпендикулярен самой плоскости.

Направляющий вектор прямой $BC$, проходящей через точки $B(8; -4; 12)$ и $C(10; -2; 15)$, находится как разность координат этих точек:
$\vec{BC} = (10 - 8; -2 - (-4); 15 - 12) = (2; 2; 3)$.

Для того чтобы плоскость была перпендикулярна прямой $BC$, необходимо и достаточно, чтобы нормальный вектор плоскости $\vec{n}$ был коллинеарен (параллелен) направляющему вектору прямой $\vec{BC}$.

Условие коллинеарности двух векторов $\vec{n}$ и $\vec{BC}$ заключается в пропорциональности их соответствующих координат. То есть, должно существовать такое число $k$, что $\vec{n} = k \cdot \vec{BC}$.
Запишем это в виде системы уравнений:
$a = k \cdot 2$
$-6 = k \cdot 2$
$c = k \cdot 3$

Из второго уравнения находим значение коэффициента пропорциональности $k$:
$k = \frac{-6}{2} = -3$.

Подставим найденное значение $k$ в первое и третье уравнения, чтобы определить $a$ и $c$:
$a = -3 \cdot 2 = -6$
$c = -3 \cdot 3 = -9$

Таким образом, при $a=-6$ и $c=-9$ плоскость будет перпендикулярна прямой $BC$.
Ответ: $a = -6$, $c = -9$.

99. Найдите уравнение образа плоскости $x + y - 2z + 3 = 0$:

1) при симметрии относительно начала координат;

2) при параллельном переносе на вектор $\vec{a} (3; -2; 1);$

3) при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом $k = 4$.

99. Найдите уравнение образа плоскости $x + y - 2z + 3 = 0$:

1) при симметрии относительно начала координат;

2) при параллельном переносе на вектор $\vec{a} (3; -2; 1)$;

3) при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом $k = 4$.

Исходное уравнение плоскости: $x + y - 2z + 3 = 0$.

Для нахождения уравнения образа плоскости при заданном преобразовании, мы выразим старые координаты $(x, y, z)$ через новые $(x', y', z')$ и подставим их в исходное уравнение.

1) при симметрии относительно начала координат;

При симметрии относительно начала координат точка с координатами $(x, y, z)$ переходит в точку с координатами $(x', y', z')$, где:

$x' = -x$
$y' = -y$
$z' = -z$

Выразим старые координаты через новые:

$x = -x'$
$y = -y'$
$z = -z'$

Подставим эти выражения в уравнение исходной плоскости:

$(-x') + (-y') - 2(-z') + 3 = 0$

$-x' - y' + 2z' + 3 = 0$

Для удобства умножим уравнение на $-1$:

$x' + y' - 2z' - 3 = 0$

Переходя к обычным обозначениям переменных, получаем уравнение образа плоскости.

Ответ: $x + y - 2z - 3 = 0$

2) при параллельном переносе на вектор $\vec{a} (3; -2; 1)$;

При параллельном переносе на вектор $\vec{a} = (3; -2; 1)$ точка с координатами $(x, y, z)$ переходит в точку с координатами $(x', y', z')$, где:

$x' = x + 3$
$y' = y - 2$
$z' = z + 1$

Выразим старые координаты через новые:

$x = x' - 3$
$y = y' + 2$
$z = z' - 1$

Подставим эти выражения в уравнение исходной плоскости:

$(x' - 3) + (y' + 2) - 2(z' - 1) + 3 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x' - 3 + y' + 2 - 2z' + 2 + 3 = 0$

$x' + y' - 2z' + 4 = 0$

Переходя к обычным обозначениям переменных, получаем искомое уравнение.

Ответ: $x + y - 2z + 4 = 0$

3) при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом $k = 4$.

При гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом $k = 4$ точка с координатами $(x, y, z)$ переходит в точку с координатами $(x', y', z')$, где:

$x' = k \cdot x = 4x$
$y' = k \cdot y = 4y$
$z' = k \cdot z = 4z$

Выразим старые координаты через новые:

$x = \frac{x'}{4}$
$y = \frac{y'}{4}$
$z = \frac{z'}{4}$

Подставим эти выражения в уравнение исходной плоскости:

$\frac{x'}{4} + \frac{y'}{4} - 2\left(\frac{z'}{4}\right) + 3 = 0$

Умножим всё уравнение на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$x' + y' - 2z' + 12 = 0$

Переходя к обычным обозначениям переменных, получаем искомое уравнение.

Ответ: $x + y - 2z + 12 = 0$

100. Высота цилиндра равна 8 см, а радиус основания — 7 см. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

100. Высота цилиндра равна 8 см, а радиус основания — 7 см. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

100.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, проходящий через ось цилиндра. Стороны этого прямоугольника равны высоте цилиндра и диаметру его основания.

По условию задачи нам даны:
Высота цилиндра $h = 8$ см.
Радиус основания цилиндра $r = 7$ см.

1. Сначала найдем диаметр основания $d$. Диаметр равен двум радиусам:
$d = 2 \times r = 2 \times 7 = 14$ см.

2. Теперь можем вычислить площадь осевого сечения $S_{сеч}$. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, то есть высоты $h$ и диаметра $d$:
$S_{сеч} = h \times d$

Подставим числовые значения:
$S_{сеч} = 8 \text{ см} \times 14 \text{ см} = 112 \text{ см}^2$.

Ответ: $112 \text{ см}^2$.

101. Высота цилиндра равна 6 см, а угол между диагональю осевого сечения и образующей равен 60°. Найдите диагональ осевого сечения цилиндра и площадь его основания.

101. Высота цилиндра равна 6 см, а угол между диагональю осевого сечения и образующей равен $60^\circ$. Найдите диагональ осевого сечения цилиндра и площадь его основания.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, сторонами которого являются высота цилиндра (равная образующей) $H$ и диаметр его основания $D$. Диагональ этого прямоугольника $d$, высота $H$ и диаметр $D$ образуют прямоугольный треугольник, где $H$ и $D$ – катеты, а $d$ – гипотенуза.

По условию задачи, высота $H = 6$ см, а угол между диагональю осевого сечения $d$ и образующей $H$ равен $60^\circ$. В рассматриваемом прямоугольном треугольнике это угол, прилежащий к катету $H$.

Найти диагональ осевого сечения цилиндра

В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю $d$, высотой $H$ и диаметром $D$, катет $H$ является прилежащим к углу $60^\circ$, а диагональ $d$ — гипотенузой. Их связь можно выразить через косинус угла:

$\cos(60^\circ) = \frac{H}{d}$

Подставим известные значения: $H = 6$ см и $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

$\frac{1}{2} = \frac{6}{d}$

Из этого уравнения находим диагональ $d$:

$d = 6 \cdot 2 = 12$ см.

Ответ: 12 см.

Найти площадь его основания

Площадь основания цилиндра (которое является кругом) вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi R^2$, где $R$ – радиус основания. Чтобы найти радиус, сначала определим диаметр основания $D$.

В том же прямоугольном треугольнике диаметр $D$ является катетом, противолежащим углу $60^\circ$. Связь между катетами и углом выражается через тангенс:

$\tan(60^\circ) = \frac{D}{H}$

Подставим известные значения: $H = 6$ см и $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

$\sqrt{3} = \frac{D}{6}$

Отсюда находим диаметр $D$:

$D = 6\sqrt{3}$ см.

Радиус основания $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь можем вычислить площадь основания:

$S_{осн} = \pi R^2 = \pi (3\sqrt{3})^2 = \pi (9 \cdot 3) = 27\pi$ см$^2$.

Ответ: $27\pi$ см$^2$.

102. Радиус основания цилиндра равен 5 см, а его высота — 6 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

102. Радиус основания цилиндра равен 5 см, а его высота — 6 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле, которая представляет собой произведение длины окружности основания на высоту цилиндра.

Формула для вычисления площади боковой поверхности цилиндра:

$S_{бок} = 2 \pi r h$

где $r$ – радиус основания, а $h$ – высота цилиндра.

Согласно условию задачи, у нас есть следующие данные:

Радиус основания $r = 5$ см.

Высота цилиндра $h = 6$ см.

Подставим эти значения в формулу:

$S_{бок} = 2 \cdot \pi \cdot 5 \cdot 6$

Выполним умножение:

$S_{бок} = 10 \cdot \pi \cdot 6 = 60\pi$

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра составляет $60\pi$ квадратных сантиметров.

Ответ: $60\pi \text{ см}^2$.

103. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 10 см, а угол между диагоналями осевого сечения, лежащий против диаметра основания, — $120^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

103. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 10 см, а угол между диагоналями осевого сечения, лежащий против диаметра основания, — 120°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник. Пусть его стороны равны $d$ (диаметр основания цилиндра) и $H$ (высота цилиндра). Диагонали этого прямоугольника равны, их длина по условию составляет 10 см.

Диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам. Рассмотрим треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и стороной прямоугольника, равной диаметру основания $d$. Этот треугольник является равнобедренным, его боковые стороны равны половине диагонали, то есть $10 / 2 = 5$ см. Угол между этими сторонами, согласно условию, равен $120^\circ$, так как он лежит против диаметра основания.

Найдем диаметр основания $d$, используя теорему косинусов для этого треугольника: $d^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cos(120^\circ)$ $d^2 = 25 + 25 - 50 \cdot (-\frac{1}{2})$ $d^2 = 50 + 25 = 75$ $d = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем высоту цилиндра $H$. Рассмотрим другой треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и стороной прямоугольника, равной высоте $H$. Этот треугольник также равнобедренный с боковыми сторонами по 5 см. Угол между ними является смежным с углом $120^\circ$, поэтому он равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Так как это равнобедренный треугольник с углом $60^\circ$ при вершине, то он является равносторонним. Следовательно, его третья сторона, равная высоте цилиндра $H$, также равна 5 см. $H = 5$ см.

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi d H$

Подставим найденные значения $d$ и $H$: $S_{бок} = \pi \cdot 5\sqrt{3} \cdot 5 = 25\pi\sqrt{3}$ см².

Ответ: $25\pi\sqrt{3}$ см².

104. Прямоугольник со сторонами 5 см и 12 см вращается вокруг большей стороны. Найдите площадь полной поверхности полученного тела вращения.

104. Прямоугольник со сторонами 5 см и 12 см вращается вокруг большей стороны. Найдите площадь полной поверхности полученного тела вращения.

При вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон образуется цилиндр. В условии задачи сказано, что прямоугольник со сторонами 5 см и 12 см вращается вокруг большей стороны.

Следовательно, высота полученного цилиндра $h$ будет равна большей стороне прямоугольника, а радиус основания $r$ — меньшей стороне.

Таким образом, имеем:

• Высота цилиндра $h = 12$ см.
• Радиус основания цилиндра $r = 5$ см.

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ вычисляется как сумма площади боковой поверхности $S_{бок}$ и площадей двух оснований $2 \cdot S_{осн}$.

Формула для площади полной поверхности цилиндра:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 2 \pi r h + 2 \pi r^2 = 2 \pi r(h + r)$

Подставим известные значения $h=12$ см и $r=5$ см в формулу:

$S_{полн} = 2 \pi \cdot 5 \cdot (12 + 5)$

$S_{полн} = 10 \pi \cdot (17)$

$S_{полн} = 170 \pi$ см².

Ответ: $170 \pi$ см².

105. Прямоугольник $ABCD$ является развёрткой боковой поверхности цилиндра. Диагональ прямоугольника равна 10 см, а угол между диагоналями — $60^\circ$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если большая сторона прямоугольника $ABCD$ является высотой цилиндра.

105. Прямоугольник ABCD является развёрткой боковой поверхности цилиндра. Диагональ прямоугольника равна 10 см, а угол между диагоналями — 60°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если большая сторона прямоугольника ABCD является высотой цилиндра.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$, который является развёрткой боковой поверхности цилиндра. Его диагонали, например $AC$ и $BD$, равны 10 см и в точке пересечения $O$ делятся пополам. Следовательно, отрезки $AO$, $BO$, $CO$, $DO$ равны $10 / 2 = 5$ см.

Диагонали прямоугольника образуют при пересечении две пары вертикальных углов. По условию, один из этих углов равен $60^\circ$. Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$, образованный стороной прямоугольника $AB$ и половинами диагоналей $AO$ и $BO$. В этом треугольнике $AO = BO = 5$ см, а угол между ними $\angle AOB = 60^\circ$. Так как треугольник $\triangle AOB$ равнобедренный с углом $60^\circ$ при вершине, то он является равносторонним. Таким образом, сторона $AB = AO = BO = 5$ см.

Вторую сторону прямоугольника, $BC$, можно найти из прямоугольного треугольника $\triangle ABC$ по теореме Пифагора, где $AC$ — гипотенуза: $AC^2 = AB^2 + BC^2$ $10^2 = 5^2 + BC^2$ $100 = 25 + BC^2$ $BC^2 = 75$ $BC = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$ см.

Стороны прямоугольника равны $5$ см и $5\sqrt{3}$ см. Поскольку $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $5\sqrt{3} \approx 8.66$ см, что больше $5$ см. По условию задачи, бóльшая сторона прямоугольника является высотой цилиндра $H$, а меньшая — длиной окружности его основания $C$. Значит, $H = 5\sqrt{3}$ см, а $C = 5$ см.

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ складывается из площади боковой поверхности $S_{бок}$ и удвоенной площади основания $S_{осн}$. $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$

Площадь боковой поверхности равна площади её развёртки — прямоугольника $ABCD$: $S_{бок} = AB \cdot BC = 5 \cdot 5\sqrt{3} = 25\sqrt{3}$ см$^2$.

Чтобы найти площадь основания, сначала определим его радиус $R$. Длина окружности основания $C$ связана с радиусом формулой $C = 2\pi R$: $5 = 2\pi R \Rightarrow R = \frac{5}{2\pi}$ см.

Теперь вычислим площадь основания по формуле $S_{осн} = \pi R^2$: $S_{осн} = \pi \left(\frac{5}{2\pi}\right)^2 = \pi \cdot \frac{25}{4\pi^2} = \frac{25}{4\pi}$ см$^2$.

Наконец, найдём площадь полной поверхности цилиндра: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 25\sqrt{3} + 2 \cdot \frac{25}{4\pi} = 25\sqrt{3} + \frac{50}{4\pi} = 25\sqrt{3} + \frac{25}{2\pi}$ см$^2$. Вынося общий множитель за скобки, получаем: $S_{полн} = 25\left(\sqrt{3} + \frac{1}{2\pi}\right)$ см$^2$.

Ответ: $25\left(\sqrt{3} + \frac{1}{2\pi}\right)$ см$^2$.