Номер 96, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

96. Найдите угол между плоскостями:

1) $7x - 2y + z + 14 = 0$ и $4x + 3y - 22z - 40 = 0$;

2) $x - 3y + z + 1 = 0$ и $6x + 4y - 3z - 2 = 0$.

96. Найдите угол между плоскостями:

1) $7x - 2y + z + 14 = 0$ и $4x + 3y - 22z - 40 = 0$;

2) $x - 3y + z + 1 = 0$ и $6x + 4y - 3z - 2 = 0$.

Угол $\phi$ между двумя плоскостями, заданными общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, равен углу между их нормальными векторами $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$. Косинус этого угла вычисляется по формуле:

$\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$

Даны плоскости $7x - 2y + z + 14 = 0$ и $4x + 3y - 22z - 40 = 0$.

Нормальный вектор первой плоскости: $\vec{n_1} = (7, -2, 1)$.

Нормальный вектор второй плоскости: $\vec{n_2} = (4, 3, -22)$.

Найдем скалярное произведение нормальных векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 7 \cdot 4 + (-2) \cdot 3 + 1 \cdot (-22) = 28 - 6 - 22 = 0$.

Так как скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, эти векторы перпендикулярны. Следовательно, и сами плоскости перпендикулярны.

$\cos \phi = \frac{0}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|} = 0$, откуда $\phi = 90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $90^\circ$.

Даны плоскости $x - 3y + z + 1 = 0$ и $6x + 4y - 3z - 2 = 0$.

Нормальный вектор первой плоскости: $\vec{n_1} = (1, -3, 1)$.

Нормальный вектор второй плоскости: $\vec{n_2} = (6, 4, -3)$.

Найдем скалярное произведение нормальных векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 6 + (-3) \cdot 4 + 1 \cdot (-3) = 6 - 12 - 3 = -9$.

Найдем модули (длины) нормальных векторов:

$|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 9 + 1} = \sqrt{11}$.

$|\vec{n_2}| = \sqrt{6^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 16 + 9} = \sqrt{61}$.

Теперь найдем косинус угла между плоскостями:

$\cos \phi = \frac{|-9|}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{61}} = \frac{9}{\sqrt{671}}$.

Следовательно, угол $\phi$ равен арккосинусу этого значения:

$\phi = \arccos\left(\frac{9}{\sqrt{671}}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{9}{\sqrt{671}}\right)$.