Номер 90, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

90. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $M(-5; 2; -3)$ и перпендикулярной прямой $AC$, если $A(7; -8; 20)$, $C(5; -2; 16)$.

90. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $M (-5; 2; -3)$ и перпендикулярной прямой $AC$, если $A (7; -8; 20)$, $C (5; -2; 16)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M(x_0; y_0; z_0)$ и имеющей нормальный вектор $\vec{n} = (A; B; C)$, задается формулой: $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.

По условию задачи, плоскость проходит через точку $M(-5; 2; -3)$.

Так как плоскость перпендикулярна прямой AC, ее нормальный вектор $\vec{n}$ будет коллинеарен (параллелен) направляющему вектору прямой AC, то есть вектору $\vec{AC}$. Найдем координаты вектора $\vec{AC}$, зная координаты точек $A(7; -8; 20)$ и $C(5; -2; 16)$: $\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (5 - 7; -2 - (-8); 16 - 20) = (-2; 6; -4)$.

В качестве нормального вектора $\vec{n}$ можно взять вектор $\vec{AC} = (-2; 6; -4)$. Для упрощения вычислений можно использовать любой коллинеарный ему вектор. Разделим координаты вектора $\vec{AC}$ на -2 и получим более простой нормальный вектор: $\vec{n} = (1; -3; 2)$. Следовательно, коэффициенты в уравнении плоскости: $A = 1$, $B = -3$, $C = 2$.

Теперь подставим координаты точки $M(-5; 2; -3)$ и компоненты нормального вектора $\vec{n}=(1; -3; 2)$ в общее уравнение плоскости: $1 \cdot (x - (-5)) - 3 \cdot (y - 2) + 2 \cdot (z - (-3)) = 0$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить окончательный вид уравнения: $x + 5 - 3y + 6 + 2z + 6 = 0$ $x - 3y + 2z + 17 = 0$.

Ответ: $x - 3y + 2z + 17 = 0$.