Номер 83, страница 47 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

83. Докажите, используя векторы, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (5; -3; 2)$, $B (9; -1; 3)$, $C (12; -5; -1)$ и $D (8; -7; -2)$ является прямоугольником.

83. Докажите, используя векторы, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (5; -3; 2)$, $B (9; -1; 3)$, $C (12; -5; -1)$ и $D (8; -7; -2)$ является прямоугольником.

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, необходимо с помощью векторов показать, что он является параллелограммом, у которого есть хотя бы один прямой угол.

1. Проверим, является ли ABCD параллелограммом.

Четырёхугольник является параллелограммом, если векторы его противоположных сторон равны. Найдём координаты векторов, соответствующих сторонам четырёхугольника, по формуле $\vec{PQ} = (x_Q - x_P; y_Q - y_P; z_Q - z_P)$ для точек $P(x_P, y_P, z_P)$ и $Q(x_Q, y_Q, z_Q)$.

Даны вершины: A(5; -3; 2), B(9; -1; 3), C(12; -5; -1) и D(8; -7; -2).

Вычислим векторы для противоположных сторон $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$:

$\vec{AB} = (9 - 5; -1 - (-3); 3 - 2) = (4; 2; 1)$

$\vec{DC} = (12 - 8; -5 - (-7); -1 - (-2)) = (4; 2; 1)$

Так как векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ имеют одинаковые координаты, они равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$. Это означает, что стороны AB и DC параллельны и равны по длине, следовательно, четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

2. Проверим наличие прямого угла.

Для того чтобы параллелограмм был прямоугольником, достаточно доказать, что его смежные стороны перпендикулярны. Проверим перпендикулярность сторон AB и AD. Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Найдём вектор $\vec{AD}$:

$\vec{AD} = (8 - 5; -7 - (-3); -2 - 2) = (3; -4; -4)$

Теперь вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b$:

$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = (4)(3) + (2)(-4) + (1)(-4) = 12 - 8 - 4 = 0$

Поскольку скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ равно нулю, эти векторы перпендикулярны. Следовательно, угол $\angle DAB$ между сторонами AB и AD — прямой.

Таким образом, четырёхугольник ABCD является параллелограммом с прямым углом, а значит, является прямоугольником.

Ответ: Утверждение доказано. Четырёхугольник ABCD является прямоугольником, так как его противоположные стороны в виде векторов равны ($\vec{AB} = \vec{DC}$), что доказывает, что это параллелограмм, а скалярное произведение векторов смежных сторон равно нулю ($\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0$), что доказывает наличие прямого угла.