Номер 87, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

87. Даны точки $A (2; 2; 1)$, $B (3; 5; 4)$, $C (-1; -10; -14)$ и $D (-4; 6; -1)$. Докажите, что прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

87. Даны точки $A (2; 2; 1)$, $B (3; 5; 4)$, $C (-1; -10; -14)$ и $D (-4; 6; -1)$. Докажите, что прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

Для того чтобы доказать, что прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $ABC$, нужно показать, что прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. В качестве таких прямых можно взять прямые $AB$ и $AC$.

Это, в свою очередь, эквивалентно тому, что направляющий вектор прямой $AD$, то есть вектор $\vec{AD}$, перпендикулярен векторам $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

1. Найдем координаты векторов $\vec{AD}$, $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала.

Для вектора $\vec{AD}$ с началом в точке $A(2; 2; 1)$ и концом в точке $D(-4; 6; -1)$:
$\vec{AD} = (-4 - 2; 6 - 2; -1 - 1) = (-6; 4; -2)$.

Для вектора $\vec{AB}$ с началом в точке $A(2; 2; 1)$ и концом в точке $B(3; 5; 4)$:
$\vec{AB} = (3 - 2; 5 - 2; 4 - 1) = (1; 3; 3)$.

Для вектора $\vec{AC}$ с началом в точке $A(2; 2; 1)$ и концом в точке $C(-1; -10; -14)$:
$\vec{AC} = (-1 - 2; -10 - 2; -14 - 1) = (-3; -12; -15)$.

2. Прежде чем продолжить, убедимся, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ не коллинеарны, то есть не лежат на одной прямой. Для этого проверим, пропорциональны ли их координаты:
$\frac{1}{-3} \neq \frac{3}{-12}$ (потому что $-\frac{1}{3} \neq -\frac{1}{4}$).
Так как координаты не пропорциональны, векторы не коллинеарны, и они задают плоскость $ABC$.

3. Теперь вычислим скалярное произведение вектора $\vec{AD}$ с векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{b}(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

Вычислим $\vec{AD} \cdot \vec{AB}$:
$\vec{AD} \cdot \vec{AB} = (-6) \cdot 1 + 4 \cdot 3 + (-2) \cdot 3 = -6 + 12 - 6 = 0$.
Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AD}$ и $\vec{AB}$ перпендикулярны, а значит, прямая $AD$ перпендикулярна прямой $AB$.

Вычислим $\vec{AD} \cdot \vec{AC}$:
$\vec{AD} \cdot \vec{AC} = (-6) \cdot (-3) + 4 \cdot (-12) + (-2) \cdot (-15) = 18 - 48 + 30 = 0$.
Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AD}$ и $\vec{AC}$ перпендикулярны, а значит, прямая $AD$ перпендикулярна прямой $AC$.

Поскольку прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AB$ и $AC$) в плоскости $ABC$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AD$ перпендикулярна всей плоскости $ABC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано: так как скалярные произведения $\vec{AD} \cdot \vec{AB}$ и $\vec{AD} \cdot \vec{AC}$ равны нулю, прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости $ABC$, и, следовательно, перпендикулярна самой плоскости $ABC$.