Номер 84, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

84. Даны точки A $(2; 0; 1)$, B $(-5; -2; -3)$ и C $(-6; -5; -4)$.

Найдите на оси x такую точку D, чтобы векторы $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{BC}$ были перпендикулярны.

84. Даны точки A (2; 0; 1), B (-5; -2; -3) и C (-6; -5; -4).

Найдите на оси x такую точку D, чтобы векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ были перпендикулярны.

По условию задачи даны точки $A(2; 0; 1)$, $B(–5; –2; –3)$ и $C(–6; –5; –4)$. Необходимо найти точку D на оси x, такую, чтобы векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ были перпендикулярны.

Поскольку точка D лежит на оси x, ее координаты y и z равны нулю. Таким образом, координаты точки D можно записать как $D(x; 0; 0)$.

Найдем координаты векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала.

Координаты вектора $\vec{AD}$:

$\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A; z_D - z_A) = (x - 2; 0 - 0; 0 - 1) = (x - 2; 0; -1)$.

Координаты вектора $\vec{BC}$:

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (-6 - (-5); -5 - (-2); -4 - (-3)) = (-1; -3; -1)$.

Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов $\vec{a}(a_1, a_2, a_3)$ и $\vec{b}(b_1, b_2, b_3)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$.

Применим это условие к векторам $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$:

$\vec{AD} \cdot \vec{BC} = 0$

$(x - 2) \cdot (-1) + 0 \cdot (-3) + (-1) \cdot (-1) = 0$

Теперь решим полученное уравнение относительно x:

$-(x - 2) + 0 + 1 = 0$

$-x + 2 + 1 = 0$

$-x + 3 = 0$

$x = 3$

Следовательно, абсцисса точки D равна 3. Координаты точки D: $(3; 0; 0)$.

Ответ: D(3; 0; 0).