Номер 86, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

86. Даны векторы $ \vec{c} (1; -2; 8) $ и $ \vec{d} (3; 1; -4) $. Найдите значение $ n $, при котором векторы $ n\vec{c} + \vec{d} $ и $ \vec{c} $ будут перпендикулярны.

86. Даны векторы $\vec{c} (1; -2; 8)$ и $\vec{d} (3; 1; -4)$. Найдите значение $n$, при котором векторы $n\vec{c} + \vec{d}$ и $\vec{c}$ будут перпендикулярны.

Даны векторы $\vec{c} (1; -2; 8)$ и $\vec{d} (3; 1; -4)$.

Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Векторы, о которых идет речь в задаче, это $n\vec{c} + \vec{d}$ и $\vec{c}$. Следовательно, для их перпендикулярности должно выполняться условие:

$(n\vec{c} + \vec{d}) \cdot \vec{c} = 0$

Сначала найдем координаты вектора $n\vec{c} + \vec{d}$.

1. Умножим вектор $\vec{c}$ на скаляр $n$:

$n\vec{c} = n(1; -2; 8) = (n \cdot 1; n \cdot (-2); n \cdot 8) = (n; -2n; 8n)$

2. Сложим векторы $n\vec{c}$ и $\vec{d}$:

$n\vec{c} + \vec{d} = (n; -2n; 8n) + (3; 1; -4) = (n+3; -2n+1; 8n-4)$

Теперь, когда у нас есть координаты обоих векторов, мы можем вычислить их скалярное произведение. Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$ находится по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

Подставим координаты векторов $n\vec{c} + \vec{d} = (n+3; -2n+1; 8n-4)$ и $\vec{c} = (1; -2; 8)$ в уравнение скалярного произведения:

$(n+3) \cdot 1 + (-2n+1) \cdot (-2) + (8n-4) \cdot 8 = 0$

Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение относительно $n$:

$n + 3 + 4n - 2 + 64n - 32 = 0$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(n + 4n + 64n) + (3 - 2 - 32) = 0$

$69n - 31 = 0$

$69n = 31$

$n = \frac{31}{69}$

Таким образом, при $n = \frac{31}{69}$ векторы $n\vec{c} + \vec{d}$ и $\vec{c}$ будут перпендикулярны.

Ответ: $n = \frac{31}{69}$.