Номер 88, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

88. Точка B принадлежит биссектору двугранного угла и удалена от его граней на 10 см, а от ребра двугранного угла — на $10\sqrt{2}$ см. Найдите данный двугранный угол.

88. Точка $B$ принадлежит биссектору двугранного угла и удалена от его граней на 10 см, а от ребра двугранного угла — на $10\sqrt{2}$ см. Найдите данный двугранный угол.

Пусть данный двугранный угол образован полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$, пересекающимися по прямой $a$ (ребро двугранного угла). Точка $B$ принадлежит биссекторной плоскости этого угла.

По условию задачи, расстояние от точки $B$ до каждой из граней ($\alpha$ и $\beta$) равно 10 см, а расстояние от точки $B$ до ребра $a$ равно $10\sqrt{2}$ см.

Для определения величины двугранного угла необходимо найти его линейный угол. Для этого выполним следующие построения:

1. Из точки $B$ опустим перпендикуляр $BO$ на ребро $a$. Длина этого отрезка равна расстоянию от точки $B$ до ребра, следовательно, $BO = 10\sqrt{2}$ см.

2. Из точки $B$ опустим перпендикуляр $BA$ на плоскость грани $\alpha$. Длина этого отрезка равна расстоянию от точки $B$ до грани, следовательно, $BA = 10$ см.

Теперь рассмотрим получившиеся отрезки. Отрезок $BO$ является наклонной к плоскости $\alpha$, отрезок $BA$ — перпендикуляром к этой плоскости, а отрезок $AO$ — проекцией наклонной $BO$ на плоскость $\alpha$.

Согласно теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($BO$) перпендикулярна прямой ($a$), лежащей в плоскости, то и ее проекция ($AO$) перпендикулярна этой прямой. Так как по построению $BO \perp a$, то и $AO \perp a$.

Поскольку отрезок $BA$ является перпендикуляром к плоскости $\alpha$, а прямая $AO$ лежит в этой плоскости, то $BA \perp AO$. Это означает, что треугольник $\triangle ABO$ является прямоугольным, с прямым углом при вершине $A$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABO$ нам известны гипотенуза $BO = 10\sqrt{2}$ см и катет $BA = 10$ см. Мы можем найти синус угла $\angle BOA$:

$ \sin(\angle BOA) = \frac{BA}{BO} = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Из этого соотношения следует, что величина угла $\angle BOA = 45^\circ$.

Так как $AO \perp a$ и $BO \perp a$, плоскость, в которой лежит треугольник $\triangle ABO$, перпендикулярна ребру $a$. Это означает, что углы в этой плоскости с вершиной в точке $O$ являются линейными углами. Угол $\angle BOA$ является углом между прямой $BO$, лежащей в биссекторной плоскости, и прямой $AO$, лежащей в грани $\alpha$. Следовательно, угол $\angle BOA$ равен половине искомого двугранного угла.

Пусть искомый двугранный угол равен $\phi$. Тогда:

$ \frac{\phi}{2} = \angle BOA = 45^\circ $

Отсюда находим полную величину двугранного угла:

$ \phi = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ $

Ответ: $90^\circ$.