Номер 81, страница 47 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

81. Найдите угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{AC}$, если A (1; 4; -1), B (4; 7; 0), C (-2; 1; -3).

81. Найдите угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{AC}$, если A (1; 4; -1), B (4; 7; 0), C (-2; 1; -3).

Для того чтобы найти угол между векторами, можно использовать формулу косинуса угла, которая выражается через скалярное произведение векторов и их длины (модули):

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

где $\alpha$ — это угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

В нашем случае, $\vec{a} = \vec{BA}$ и $\vec{b} = \vec{AC}$.

1. Найдем координаты векторов $\vec{BA}$ и $\vec{AC}$

Координаты вектора находятся путем вычитания координат начальной точки из координат конечной точки.

Для вектора $\vec{BA}$, начало в точке $B(4; 7; 0)$ и конец в точке $A(1; 4; -1)$:

$\vec{BA} = (1 - 4; 4 - 7; -1 - 0) = (-3; -3; -1)$

Для вектора $\vec{AC}$, начало в точке $A(1; 4; -1)$ и конец в точке $C(-2; 1; -3)$:

$\vec{AC} = (-2 - 1; 1 - 4; -3 - (-1)) = (-3; -3; -2)$

2. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{BA}$ и $\vec{AC}$

Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

$\vec{BA} \cdot \vec{AC} = (-3) \cdot (-3) + (-3) \cdot (-3) + (-1) \cdot (-2) = 9 + 9 + 2 = 20$

3. Вычислим длины (модули) векторов $\vec{BA}$ и $\vec{AC}$

Длина вектора $\vec{a}(x; y; z)$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

$|\vec{BA}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 9 + 1} = \sqrt{19}$

$|\vec{AC}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 9 + 4} = \sqrt{22}$

4. Найдем косинус угла и сам угол

Теперь подставим все найденные значения в исходную формулу для косинуса угла:

$\cos(\alpha) = \frac{20}{\sqrt{19} \cdot \sqrt{22}} = \frac{20}{\sqrt{19 \cdot 22}} = \frac{20}{\sqrt{418}}$

Угол $\alpha$ — это арккосинус полученного значения.

$\alpha = \arccos\left(\frac{20}{\sqrt{418}}\right)$

Ответ: $\arccos\left(\frac{20}{\sqrt{418}}\right)$