Номер 75, страница 47 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

75. Ребро правильного тетраэдра $DABC$ равно $a$, точка $F$ — середина ребра $BD$ (рис. 16). Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{CF}$ и $\vec{CB}$;

2) $\vec{CF}$ и $\vec{AD}$.

Рис. 16

75. Ребро правильного тетраэдра DABC равно $a$, точка F — середина ребра BD (рис. 16). Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{CF}$ и $\vec{CB}$;

2) $\vec{CF}$ и $\vec{AD}$.

1) $\vec{CF}$ и $\vec{CB}$

Поскольку DABC — правильный тетраэдр, все его грани являются равносторонними треугольниками со стороной $a$. Следовательно, длины всех ребер равны $a$, а углы в гранях равны $60^\circ$.

Для нахождения скалярного произведения воспользуемся векторным разложением. Точка F является серединой ребра BD, поэтому вектор $\vec{CF}$ можно выразить как полусумму векторов, исходящих из той же вершины C к концам отрезка BD: $\vec{CF} = \frac{1}{2}(\vec{CB} + \vec{CD})$.

Теперь найдем скалярное произведение векторов $\vec{CF}$ и $\vec{CB}$: $\vec{CF} \cdot \vec{CB} = \frac{1}{2}(\vec{CB} + \vec{CD}) \cdot \vec{CB}$.

Используя свойство дистрибутивности скалярного произведения, раскроем скобки: $\frac{1}{2}(\vec{CB} \cdot \vec{CB} + \vec{CD} \cdot \vec{CB})$.

Вычислим каждое слагаемое:

• Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: $\vec{CB} \cdot \vec{CB} = |\vec{CB}|^2 = a^2$.
• Скалярное произведение векторов $\vec{CD}$ и $\vec{CB}$ вычисляется по формуле $|\vec{CD}| \cdot |\vec{CB}| \cdot \cos(\angle DCB)$. Так как грань BCD — равносторонний треугольник, угол $\angle DCB = 60^\circ$. Тогда $\vec{CD} \cdot \vec{CB} = a \cdot a \cdot \cos(60^\circ) = a^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.

Подставим найденные значения обратно в выражение: $\vec{CF} \cdot \vec{CB} = \frac{1}{2}(a^2 + \frac{a^2}{2}) = \frac{1}{2}(\frac{2a^2 + a^2}{2}) = \frac{1}{2}(\frac{3a^2}{2}) = \frac{3a^2}{4}$.

Ответ: $\frac{3a^2}{4}$

2) $\vec{CF}$ и $\vec{AD}$

Для нахождения скалярного произведения $\vec{CF} \cdot \vec{AD}$ также используем метод разложения векторов. Выберем в качестве базиса векторы, исходящие из вершины C: $\vec{CA}$, $\vec{CB}$ и $\vec{CD}$.

Из первого пункта мы знаем разложение вектора $\vec{CF}$: $\vec{CF} = \frac{1}{2}(\vec{CB} + \vec{CD})$.

Выразим вектор $\vec{AD}$ через базисные векторы по правилу разности векторов: $\vec{AD} = \vec{CD} - \vec{CA}$.

Теперь вычислим их скалярное произведение: $\vec{CF} \cdot \vec{AD} = \frac{1}{2}(\vec{CB} + \vec{CD}) \cdot (\vec{CD} - \vec{CA})$.

Раскроем скобки: $\vec{CF} \cdot \vec{AD} = \frac{1}{2}(\vec{CB} \cdot \vec{CD} - \vec{CB} \cdot \vec{CA} + \vec{CD} \cdot \vec{CD} - \vec{CD} \cdot \vec{CA})$.

Найдём значения скалярных произведений базисных векторов. Так как тетраэдр правильный, длины всех векторов равны $a$, а углы между ними ($\angle ACB$, $\angle BCD$, $\angle ACD$) равны $60^\circ$.

• $\vec{CB} \cdot \vec{CD} = |\vec{CB}| \cdot |\vec{CD}| \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.
• $\vec{CB} \cdot \vec{CA} = |\vec{CB}| \cdot |\vec{CA}| \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.
• $\vec{CD} \cdot \vec{CD} = |\vec{CD}|^2 = a^2$.
• $\vec{CD} \cdot \vec{CA} = |\vec{CD}| \cdot |\vec{CA}| \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.

Подставим эти значения в выражение: $\vec{CF} \cdot \vec{AD} = \frac{1}{2}(\frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2} + a^2 - \frac{a^2}{2}) = \frac{1}{2}(a^2 - \frac{a^2}{2}) = \frac{1}{2}(\frac{a^2}{2}) = \frac{a^2}{4}$.

Ответ: $\frac{a^2}{4}$