Номер 70, страница 46 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

70. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $135^\circ$, $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 7\sqrt{2}$. Найдите скалярное произведение $(2\vec{b} + 5\vec{a}) \cdot \vec{a}$.

70. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $135^{\circ}$, $|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=7\sqrt{2}$. Найдите скалярное произведение $(2\vec{b} + 5\vec{a})\cdot\vec{a}$.

Для нахождения скалярного произведения $(2\vec{b} + 5\vec{a}) \cdot \vec{a}$ воспользуемся его свойствами. Сначала, используя дистрибутивный закон и свойство вынесения скалярного множителя, преобразуем выражение:

$(2\vec{b} + 5\vec{a}) \cdot \vec{a} = (2\vec{b} \cdot \vec{a}) + (5\vec{a} \cdot \vec{a}) = 2(\vec{b} \cdot \vec{a}) + 5(\vec{a} \cdot \vec{a})$

Теперь вычислим каждое скалярное произведение в полученном выражении по отдельности.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между ними. Из условия задачи известно, что $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 7\sqrt{2}$ и $\alpha = 135^\circ$. Найдем значение косинуса: $\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Теперь вычислим скалярное произведение $\vec{b} \cdot \vec{a}$ (оно равно $\vec{a} \cdot \vec{b}$):

$\vec{b} \cdot \vec{a} = |\vec{b}| \cdot |\vec{a}| \cdot \cos(135^\circ) = 7\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -21 \cdot \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = -21 \cdot \frac{2}{2} = -21$.

Скалярный квадрат вектора $\vec{a}$ равен квадрату его длины: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.

$\vec{a} \cdot \vec{a} = 3^2 = 9$.

Подставим найденные значения в преобразованное выражение:

$2(\vec{b} \cdot \vec{a}) + 5(\vec{a} \cdot \vec{a}) = 2 \cdot (-21) + 5 \cdot 9 = -42 + 45 = 3$.

Ответ: 3