Номер 74, страница 47 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

74. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{AD_1}$ и $\vec{C_1B}$;

2) $\vec{A_1D_1}$ и $\vec{CC_1}$;

3) $\vec{DC}$ и $\vec{B_1D_1}$.

74. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{AD_1}$ и $\vec{C_1B}$;

2) $\vec{A_1D_1}$ и $\vec{CC_1}$;

3) $\vec{DC}$ и $\vec{B_1D_1}$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0, 0, 0)$. Направим оси координат вдоль ребер куба: ось $Ox$ вдоль $AB$, ось $Oy$ вдоль $AD$ и ось $Oz$ вдоль $AA_1$. Так как ребро куба равно $a$, то координаты вершин будут следующими:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(a, 0, 0)$
• $C(a, a, 0)$
• $D(0, a, 0)$
• $A_1(0, 0, a)$
• $B_1(a, 0, a)$
• $C_1(a, a, a)$
• $D_1(0, a, a)$

Скалярное произведение векторов $\vec{u}=(x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{v}=(x_2, y_2, z_2)$ находится по формуле: $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

1) $\vec{AD_1}$ и $\vec{C_1B}$

Сначала найдем координаты векторов. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала.

$\vec{AD_1} = D_1 - A = (0-0, a-0, a-0) = (0, a, a)$.

$\vec{C_1B} = B - C_1 = (a-a, 0-a, 0-a) = (0, -a, -a)$.

Теперь вычислим их скалярное произведение:

$\vec{AD_1} \cdot \vec{C_1B} = 0 \cdot 0 + a \cdot (-a) + a \cdot (-a) = 0 - a^2 - a^2 = -2a^2$.

Ответ: $-2a^2$.

2) $\vec{A_1D_1}$ и $\vec{CC_1}$

Найдем координаты векторов:

$\vec{A_1D_1} = D_1 - A_1 = (0-0, a-0, a-a) = (0, a, 0)$.

$\vec{CC_1} = C_1 - C = (a-a, a-a, a-0) = (0, 0, a)$.

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{A_1D_1} \cdot \vec{CC_1} = 0 \cdot 0 + a \cdot 0 + 0 \cdot a = 0$.

Результат равен нулю, так как векторы ортогональны (перпендикулярны). Вектор $\vec{A_1D_1}$ параллелен оси $Oy$, а вектор $\vec{CC_1}$ параллелен оси $Oz$.

Ответ: $0$.

3) $\vec{DC}$ и $\vec{B_1D_1}$

Найдем координаты векторов:

$\vec{DC} = C - D = (a-0, a-a, 0-0) = (a, 0, 0)$.

$\vec{B_1D_1} = D_1 - B_1 = (0-a, a-0, a-a) = (-a, a, 0)$.

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{DC} \cdot \vec{B_1D_1} = a \cdot (-a) + 0 \cdot a + 0 \cdot 0 = -a^2$.

Ответ: $-a^2$.