Номер 72, страница 47 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

72. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $\left|\vec{a}\right|=4\sqrt{2}$, $\left|\vec{b}\right|=5$, $\angle(\vec{a},\vec{b})=45^\circ$. Найдите $\left|\vec{b}-3\vec{a}\right|$.

72. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $\lvert\vec{a}\rvert=4\sqrt{2}$, $\lvert\vec{b}\rvert=5$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 45^\circ$.

Найдите $\lvert\vec{b}-3\vec{a}\rvert$.

Для нахождения модуля вектора $|\vec{b} - 3\vec{a}|$ воспользуемся свойством скалярного произведения векторов: квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату. То есть, для любого вектора $\vec{v}$ справедливо равенство $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$.

Применим это свойство к вектору $\vec{b} - 3\vec{a}$:

$|\vec{b} - 3\vec{a}|^2 = (\vec{b} - 3\vec{a}) \cdot (\vec{b} - 3\vec{a})$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность и коммутативность):

$(\vec{b} - 3\vec{a}) \cdot (\vec{b} - 3\vec{a}) = \vec{b} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot (3\vec{a}) - (3\vec{a}) \cdot \vec{b} + (3\vec{a}) \cdot (3\vec{a})$

$= |\vec{b}|^2 - 3(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9(\vec{a} \cdot \vec{a})$

$= |\vec{b}|^2 - 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9|\vec{a}|^2$

Для дальнейших вычислений найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$

По условию задачи нам даны:

$|\vec{a}| = 4\sqrt{2}$

$|\vec{b}| = 5$

$\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 45^\circ$

Косинус угла $45^\circ$ равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим эти значения в формулу скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4\sqrt{2} \cdot 5 \cdot \cos(45^\circ) = 4\sqrt{2} \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 20 \cdot \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = 20 \cdot \frac{2}{2} = 20$

Теперь подставим все известные значения — $|\vec{a}|$, $|\vec{b}|$ и $\vec{a} \cdot \vec{b}$ — в выражение для квадрата модуля:

$|\vec{b} - 3\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 - 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9|\vec{a}|^2$

$|\vec{b} - 3\vec{a}|^2 = 5^2 - 6 \cdot 20 + 9 \cdot (4\sqrt{2})^2$

Выполним вычисления:

$|\vec{b} - 3\vec{a}|^2 = 25 - 120 + 9 \cdot (16 \cdot 2) = 25 - 120 + 9 \cdot 32 = 25 - 120 + 288$

$|\vec{b} - 3\vec{a}|^2 = 193$

Модуль вектора является неотрицательной величиной, поэтому, чтобы найти $|\vec{b} - 3\vec{a}|$, извлечем квадратный корень из полученного результата:

$|\vec{b} - 3\vec{a}| = \sqrt{193}$

Ответ: $\sqrt{193}$