Номер 73, страница 47 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

73. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} = 3\vec{k} + \vec{p}$ и $\vec{b} = \vec{k} - 2\vec{p}$, где $|\vec{k}| = |\vec{p}| = 1$, $\vec{k} \perp \vec{p}$.

73. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} = 3\vec{k} + \vec{p}$ и $\vec{b} = \vec{k} - 2\vec{p}$, где $|\vec{k}| = |\vec{p}| = 1$, $\vec{k} \perp \vec{p}$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле скалярного произведения:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

По условию задачи даны векторы $\vec{a} = 3\vec{k} + \vec{p}$ и $\vec{b} = \vec{k} - 2\vec{p}$. Также известно, что модули векторов $|\vec{k}| = 1$ и $|\vec{p}| = 1$, и векторы $\vec{k}$ и $\vec{p}$ ортогональны ($\vec{k} \perp \vec{p}$), что означает, что их скалярное произведение равно нулю: $\vec{k} \cdot \vec{p} = 0$.

Для нахождения косинуса угла необходимо последовательно вычислить скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ и их модули $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$.

1. Вычисление скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3\vec{k} + \vec{p}) \cdot (\vec{k} - 2\vec{p})$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3\vec{k} \cdot \vec{k} - 3\vec{k} \cdot 2\vec{p} + \vec{p} \cdot \vec{k} - \vec{p} \cdot 2\vec{p} = 3|\vec{k}|^2 - 6(\vec{k} \cdot \vec{p}) + (\vec{p} \cdot \vec{k}) - 2|\vec{p}|^2$

Подставим известные значения $|\vec{k}|=1$, $|\vec{p}|=1$ и $\vec{k} \cdot \vec{p} = 0$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 1^2 - 6 \cdot 0 + 0 - 2 \cdot 1^2 = 3 - 0 + 0 - 2 = 1$

2. Вычисление модуля вектора $|\vec{a}|$

Модуль вектора в квадрате равен скалярному произведению вектора на самого себя: $|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a}$.

$|\vec{a}|^2 = (3\vec{k} + \vec{p}) \cdot (3\vec{k} + \vec{p}) = 9(\vec{k} \cdot \vec{k}) + 6(\vec{k} \cdot \vec{p}) + (\vec{p} \cdot \vec{p})$

$|\vec{a}|^2 = 9|\vec{k}|^2 + 6(\vec{k} \cdot \vec{p}) + |\vec{p}|^2$

Подставим известные значения:

$|\vec{a}|^2 = 9 \cdot 1^2 + 6 \cdot 0 + 1^2 = 9 + 0 + 1 = 10$

Следовательно, $|\vec{a}| = \sqrt{10}$.

3. Вычисление модуля вектора $|\vec{b}|$

$|\vec{b}|^2 = (\vec{k} - 2\vec{p}) \cdot (\vec{k} - 2\vec{p}) = (\vec{k} \cdot \vec{k}) - 4(\vec{k} \cdot \vec{p}) + 4(\vec{p} \cdot \vec{p})$

$|\vec{b}|^2 = |\vec{k}|^2 - 4(\vec{k} \cdot \vec{p}) + 4|\vec{p}|^2$

Подставим известные значения:

$|\vec{b}|^2 = 1^2 - 4 \cdot 0 + 4 \cdot 1^2 = 1 - 0 + 4 = 5$

Следовательно, $|\vec{b}| = \sqrt{5}$.

4. Вычисление косинуса угла

Теперь подставим найденные значения в исходную формулу:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{50}}$

Упростим полученное выражение, вынеся множитель из-под корня:

$\frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{\sqrt{25 \cdot 2}} = \frac{1}{5\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{10}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{10}$