Номер 99, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

99. Найдите уравнение образа плоскости $x + y - 2z + 3 = 0$:

1) при симметрии относительно начала координат;

2) при параллельном переносе на вектор $\vec{a} (3; -2; 1);$

3) при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом $k = 4$.

99. Найдите уравнение образа плоскости $x + y - 2z + 3 = 0$:

1) при симметрии относительно начала координат;

2) при параллельном переносе на вектор $\vec{a} (3; -2; 1)$;

3) при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом $k = 4$.

Исходное уравнение плоскости: $x + y - 2z + 3 = 0$.

Для нахождения уравнения образа плоскости при заданном преобразовании, мы выразим старые координаты $(x, y, z)$ через новые $(x', y', z')$ и подставим их в исходное уравнение.

1) при симметрии относительно начала координат;

При симметрии относительно начала координат точка с координатами $(x, y, z)$ переходит в точку с координатами $(x', y', z')$, где:

$x' = -x$
$y' = -y$
$z' = -z$

Выразим старые координаты через новые:

$x = -x'$
$y = -y'$
$z = -z'$

Подставим эти выражения в уравнение исходной плоскости:

$(-x') + (-y') - 2(-z') + 3 = 0$

$-x' - y' + 2z' + 3 = 0$

Для удобства умножим уравнение на $-1$:

$x' + y' - 2z' - 3 = 0$

Переходя к обычным обозначениям переменных, получаем уравнение образа плоскости.

Ответ: $x + y - 2z - 3 = 0$

2) при параллельном переносе на вектор $\vec{a} (3; -2; 1)$;

При параллельном переносе на вектор $\vec{a} = (3; -2; 1)$ точка с координатами $(x, y, z)$ переходит в точку с координатами $(x', y', z')$, где:

$x' = x + 3$
$y' = y - 2$
$z' = z + 1$

Выразим старые координаты через новые:

$x = x' - 3$
$y = y' + 2$
$z = z' - 1$

Подставим эти выражения в уравнение исходной плоскости:

$(x' - 3) + (y' + 2) - 2(z' - 1) + 3 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x' - 3 + y' + 2 - 2z' + 2 + 3 = 0$

$x' + y' - 2z' + 4 = 0$

Переходя к обычным обозначениям переменных, получаем искомое уравнение.

Ответ: $x + y - 2z + 4 = 0$

3) при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом $k = 4$.

При гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом $k = 4$ точка с координатами $(x, y, z)$ переходит в точку с координатами $(x', y', z')$, где:

$x' = k \cdot x = 4x$
$y' = k \cdot y = 4y$
$z' = k \cdot z = 4z$

Выразим старые координаты через новые:

$x = \frac{x'}{4}$
$y = \frac{y'}{4}$
$z = \frac{z'}{4}$

Подставим эти выражения в уравнение исходной плоскости:

$\frac{x'}{4} + \frac{y'}{4} - 2\left(\frac{z'}{4}\right) + 3 = 0$

Умножим всё уравнение на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$x' + y' - 2z' + 12 = 0$

Переходя к обычным обозначениям переменных, получаем искомое уравнение.

Ответ: $x + y - 2z + 12 = 0$