Номер 134, страница 53 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

134. Через вершину конуса проведено сечение, пересекающее его основание по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой равна 60°. Расстояние от вершины конуса до этой хорды и её длина равны 12 см. Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса.

134. Через вершину конуса проведено сечение, пересекающее его основание по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой равна $60^\circ$. Расстояние от вершины конуса до этой хорды и её длина равны 12 см. Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса.

Обозначим вершину конуса как $S$, а центр его основания — как $O$. Сечение, проходящее через вершину конуса, представляет собой равнобедренный треугольник $ASB$, где $A$ и $B$ — точки на окружности основания, а хорда $AB$ — его основание.

1. Рассмотрим основание конуса. По условию, хорда $AB$ стягивает дугу, градусная мера которой равна $60^\circ$. Это означает, что центральный угол $ \angle AOB $ также равен $60^\circ$. Треугольник $ \triangle AOB $ является равнобедренным, так как $OA$ и $OB$ — радиусы основания ($OA = OB = R$). Равнобедренный треугольник с углом при вершине $60^\circ$ является равносторонним. Следовательно, $OA = OB = AB = R$.

По условию задачи, длина хорды $AB$ равна 12 см. Таким образом, радиус основания конуса $R$ также равен 12 см: $ R = AB = 12 $ см.

2. Угол между плоскостью сечения ($ASB$) и плоскостью основания конуса — это двугранный угол, образованный этими плоскостями. Его мерой является линейный угол, построенный на линии их пересечения, то есть на хорде $AB$.

Проведем из центра основания $O$ перпендикуляр $OM$ к хорде $AB$. Так как $ \triangle AOB $ — равносторонний, $OM$ является его высотой и медианой, значит $M$ — середина $AB$. Длину $OM$ можно найти как высоту равностороннего треугольника со стороной 12 см: $ OM = \frac{AB \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{12 \sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} $ см.

3. Рассмотрим сечение — треугольник $ \triangle ASB $. Он является равнобедренным, так как $AS$ и $BS$ — образующие конуса. Расстояние от вершины конуса $S$ до хорды $AB$ — это длина высоты $SM$, проведенной к основанию $AB$. По условию, это расстояние равно 12 см, следовательно, $ SM = 12 $ см.

4. Так как $ OM \perp AB $ (в плоскости основания) и $ SM \perp AB $ (в плоскости сечения), то угол $ \angle SMO $ является линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. Именно этот угол нам и нужно найти.

5. Рассмотрим треугольник $ \triangle SMO $. Отрезок $SO$ является высотой конуса, поэтому он перпендикулярен плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $O$. Таким образом, $ SO \perp OM $. Это означает, что $ \triangle SMO $ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $O$.

В прямоугольном треугольнике $ \triangle SMO $ нам известны:

• катет $ OM = 6\sqrt{3} $ см;
• гипотенуза $ SM = 12 $ см.

Найдем косинус угла $ \angle SMO $: $ \cos(\angle SMO) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{OM}{SM} = \frac{6\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Угол, косинус которого равен $ \frac{\sqrt{3}}{2} $, составляет $30^\circ$. Следовательно, искомый угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса равен $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$