Номер 188, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

188. Плоскость $\alpha$ касается шара с центром $O$ в точке $A$, точка $B$ принадлежит плоскости $\alpha$ (рис. 17). Найдите отрезок $OB$, если радиус шара равен $R$, $\angle ABO = \gamma$.

Рис. 17

188. Плоскость $\alpha$ касается шара с центром $O$ в точке $A$, точка $B$ принадлежит плоскости $\alpha$ (рис. 17). Найдите отрезок $OB$, если радиус шара равен $R$, $\angle ABO = \gamma$.

Рис. 17

По условию задачи, плоскость $\alpha$ касается шара с центром в точке $O$ в точке $A$. Согласно свойству касательной плоскости, радиус шара, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой плоскости. Таким образом, радиус $OA$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, и его длина равна $R$, то есть $OA = R$.

Так как точка $B$ лежит в плоскости $\alpha$, отрезок $AB$ также лежит в этой плоскости. Из того, что прямая $OA$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, следует, что она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $A$. Значит, $OA \perp AB$, и угол $\angle OAB = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAB$. Он является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$. В этом треугольнике катет $OA$ равен $R$, а угол, противолежащий этому катету, $\angle ABO = \gamma$. Отрезок $OB$ является гипотенузой.

По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике, синус угла равен отношению длины противолежащего катета к длине гипотенузы:

$\sin(\angle ABO) = \frac{OA}{OB}$

Подставим известные нам значения в эту формулу:

$\sin(\gamma) = \frac{R}{OB}$

Из этого соотношения выразим искомую длину отрезка $OB$:

$OB = \frac{R}{\sin(\gamma)}$

Ответ: $\frac{R}{\sin(\gamma)}$