Номер 182, страница 59 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

182. Через конец радиуса шара проведена плоскость, образующая с этим радиусом угол $60^\circ$. Найдите радиус шара, если площадь сечения шара этой плоскостью равна $64\pi \text{ см}^2$.

182. Через конец радиуса шара проведена плоскость, образующая с этим радиусом угол 60°. Найдите радиус шара, если площадь сечения шара этой плоскостью равна $64\pi \text{ cm}^2$.

Пусть $R$ — искомый радиус шара, а $r$ — радиус сечения шара плоскостью. По условию, площадь сечения $S_{сеч} = 64\pi \text{ см}^2$. Угол между радиусом шара, проведенным в точку на окружности сечения, и плоскостью сечения составляет $60^\circ$.

1. Нахождение радиуса сечения

Сечение шара плоскостью представляет собой круг. Площадь круга вычисляется по формуле $S_{сеч} = \pi r^2$. Используя данные из условия, найдем радиус этого круга $r$:

$\pi r^2 = 64\pi$

Разделив обе части уравнения на $\pi$, получаем:

$r^2 = 64$

$r = \sqrt{64} = 8 \text{ см}$

2. Нахождение радиуса шара

Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуют радиус шара $R$ (гипотенуза), радиус сечения $r$ (катет) и расстояние от центра шара до плоскости сечения (второй катет). Угол между радиусом шара $R$ (гипотенузой) и плоскостью сечения (в которой лежит катет $r$) по условию равен $60^\circ$. Таким образом, катет $r$ является прилежащим к этому углу.

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике следует соотношение:

$\cos(60^\circ) = \frac{r}{R}$

Отсюда выразим радиус шара $R$:

$R = \frac{r}{\cos(60^\circ)}$

Подставим известные значения $r=8$ см и $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$ в формулу:

$R = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 8 \cdot 2 = 16 \text{ см}$

Ответ: 16 см.