Номер 180, страница 59 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

180. Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 2 = 0$ является уравнением сферы; укажите координаты центра и радиус этой сферы.

180. Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 2 = 0$ является уравнением сферы; укажите координаты центра и радиус этой сферы.

Для того чтобы доказать, что заданное уравнение является уравнением сферы, и найти ее центр и радиус, необходимо преобразовать это уравнение к каноническому виду уравнения сферы: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0, z_0)$ — это координаты центра сферы, а $R$ — ее радиус.

Исходное уравнение: $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 2 = 0$.

Сгруппируем члены, содержащие одинаковые переменные:

$(x^2 - 2x) + (y^2 - 2y) + z^2 - 2 = 0$

Теперь выделим полные квадраты для выражений с $x$ и $y$. Для этого воспользуемся формулой сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Чтобы не нарушить равенство, будем одновременно добавлять и вычитать необходимые слагаемые.

Для группы с $x$: $x^2 - 2x = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) - 1^2 = (x - 1)^2 - 1$.

Для группы с $y$: $y^2 - 2y = (y^2 - 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2) - 1^2 = (y - 1)^2 - 1$.

Подставим эти преобразованные выражения обратно в уравнение:

$((x - 1)^2 - 1) + ((y - 1)^2 - 1) + z^2 - 2 = 0$

Теперь раскроем скобки и объединим все постоянные члены:

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + z^2 - 1 - 1 - 2 = 0$

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + z^2 - 4 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения, чтобы получить канонический вид:

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 4$

Данное уравнение можно записать как $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 0)^2 = 2^2$.

Поскольку исходное уравнение успешно приведено к каноническому виду уравнения сферы, это доказывает, что оно действительно описывает сферу.

Сравнивая полученное уравнение с общей формой $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, мы можем определить координаты центра и радиус:

Координаты центра сферы $(x_0, y_0, z_0)$ равны $(1, 1, 0)$.

Квадрат радиуса $R^2 = 4$, следовательно, радиус сферы $R = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: Уравнение $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 2 = 0$ является уравнением сферы с центром в точке с координатами $(1, 1, 0)$ и радиусом, равным $2$.