Номер 184, страница 59 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

184. Диаметр шара разделён двумя точками на три части в отношении $3 : 4 : 7$. Найдите отношение площадей сечений шара, проходящих через эти точки перпендикулярно данному диаметру.

184. Диаметр шара разделён двумя точками на три части в отношении 3 : 4 : 7. Найдите отношение площадей сечений шара, проходящих через эти точки перпендикулярно данному диаметру.

Пусть диаметр шара равен $D$, а радиус равен $R$. Диаметр разделён двумя точками на три части, длины которых соотносятся как $3:4:7$.

Введём коэффициент пропорциональности $k$. Тогда длины этих трёх частей будут равны $3k$, $4k$ и $7k$. Длина всего диаметра $D$ равна сумме длин его частей: $D = 3k + 4k + 7k = 14k$.

Радиус шара $R$ равен половине диаметра: $R = \frac{D}{2} = \frac{14k}{2} = 7k$.

Для удобства расположим центр шара в начале координат (0), а данный диаметр — вдоль оси координат. Концы диаметра будут находиться в точках с координатами $-R$ и $R$, то есть $-7k$ и $7k$.

Найдём координаты двух точек, которые делят диаметр. Будем считать, что отрезки расположены в заданном порядке, начиная от одного из концов диаметра, например, от точки с координатой $-7k$.

• Координата первой точки деления $x_1$: $x_1 = -7k + 3k = -4k$.
• Координата второй точки деления $x_2$: $x_2 = x_1 + 4k = -4k + 4k = 0$.

Таким образом, одна точка деления находится на расстоянии $h_1 = |-4k| = 4k$ от центра шара, а вторая точка совпадает с центром шара, то есть расстояние от центра $h_2 = 0$.

Сечения шара, проходящие через эти точки перпендикулярно диаметру, являются кругами. Площадь сечения $S$ на расстоянии $h$ от центра шара с радиусом $R$ вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус сечения. Из прямоугольного треугольника, образованного радиусом шара $R$, радиусом сечения $r$ и расстоянием $h$, следует, что $r^2 = R^2 - h^2$.

Найдём площадь первого сечения $S_1$, которое находится на расстоянии $h_1 = 4k$ от центра:

$S_1 = \pi (R^2 - h_1^2) = \pi ((7k)^2 - (4k)^2) = \pi (49k^2 - 16k^2) = 33\pi k^2$.

Найдём площадь второго сечения $S_2$, которое находится на расстоянии $h_2 = 0$ от центра (это сечение является большим кругом шара):

$S_2 = \pi (R^2 - h_2^2) = \pi ((7k)^2 - 0^2) = \pi (49k^2) = 49\pi k^2$.

Теперь найдём отношение площадей этих сечений:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{33\pi k^2}{49\pi k^2} = \frac{33}{49}$.

Ответ: $33:49$.