Номер 178, страница 58 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

178. Точка C принадлежит сфере $(x + 3)^2 + (y - 4)^2 + z^2 = 49$, точка O — начало координат. Центр данной сферы принадлежит прямой OC, но не принадлежит отрезку OC. Найдите расстояние от точки C до начала координат.

178. Точка $C$ принадлежит сфере $ (x + 3)^2 + (y - 4)^2 + z^2 = 49 $, точка $O$ — начало координат. Центр данной сферы принадлежит прямой $OC$, но не принадлежит отрезку $OC$. Найдите расстояние от точки $C$ до начала координат.

Проанализируем уравнение сферы: $(x + 3)^2 + (y - 4)^2 + z^2 = 49$. Общее уравнение сферы с центром в точке $A(x_0, y_0, z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$. Сравнивая с данным уравнением, находим координаты центра сферы $A$ и ее радиус $R$:

• Центр сферы: $A(-3, 4, 0)$.
• Квадрат радиуса: $R^2 = 49$, следовательно, радиус $R = 7$.

Точка $O$ — это начало координат, то есть $O(0, 0, 0)$. Найдем расстояние от центра сферы $A$ до начала координат $O$: $OA = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (4 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5$.

По условию задачи, центр сферы $A$ принадлежит прямой $OC$, но не принадлежит отрезку $OC$. Это означает, что все три точки — $O$, $C$ и $A$ — лежат на одной прямой. Точка $C$ принадлежит сфере, поэтому расстояние от центра сферы $A$ до точки $C$ равно радиусу: $AC = R = 7$.

Так как точки $O$, $C$, $A$ лежат на одной прямой, возможны три варианта их взаимного расположения:

1. Точка A лежит между O и C. В этом случае $A$ принадлежит отрезку $OC$. Расстояние $OC$ было бы равно сумме расстояний $OA$ и $AC$: $OC = OA + AC = 5 + 7 = 12$. Этот вариант противоречит условию, что центр $A$ не принадлежит отрезку $OC$.
2. Точка C лежит между O и A. В этом случае $C$ принадлежит отрезку $OA$. Расстояние $OA$ было бы равно сумме расстояний $OC$ и $CA$: $OA = OC + CA$. Тогда $OC = OA - CA = 5 - 7 = -2$. Расстояние не может быть отрицательным, следовательно, этот вариант невозможен.
3. Точка O лежит между A и C. В этом случае $O$ принадлежит отрезку $AC$. Расстояние $AC$ равно сумме расстояний $AO$ и $OC$: $AC = AO + OC$. Этот вариант удовлетворяет условию, так как точка $A$ не лежит на отрезке $OC$. Найдем искомое расстояние $OC$: $OC = AC - AO = 7 - 5 = 2$.

Единственный возможный вариант, удовлетворяющий всем условиям задачи, дает расстояние от точки $C$ до начала координат, равное 2.

Ответ: 2