Номер 185, страница 59 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

185. Вершины равностороннего треугольника со стороной 9 см лежат на поверхности шара, а расстояние от центра шара до плоскости треугольника равно 3 см. Найдите радиус шара.

185. Вершины равностороннего треугольника со стороной 9 см лежат на поверхности шара, а расстояние от центра шара до плоскости треугольника равно 3 см. Найдите радиус шара.

Пусть $R$ – искомый радиус шара, $a$ – сторона равностороннего треугольника, $d$ – расстояние от центра шара до плоскости треугольника. По условию задачи нам дано: $a = 9$ см, $d = 3$ см.

Вершины треугольника лежат на поверхности шара. Это означает, что треугольник вписан в окружность, которая является сечением шара плоскостью этого треугольника. Обозначим радиус этой окружности как $r$. Этот радиус является радиусом описанной около треугольника окружности.

Найдем радиус $r$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$. Формула для вычисления этого радиуса:
$r = \frac{a}{\sqrt{3}}$
Подставим известное значение стороны $a = 9$ см:
$r = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$, радиусом сечения $r$ и расстоянием $d$ от центра шара до плоскости треугольника. В этом треугольнике:
- радиус шара $R$ является гипотенузой;
- расстояние $d$ является одним катетом;
- радиус сечения $r$ является вторым катетом.
Согласно теореме Пифагора, мы можем записать:
$R^2 = d^2 + r^2$

Подставим значения $d = 3$ см и $r = 3\sqrt{3}$ см в эту формулу:
$R^2 = 3^2 + (3\sqrt{3})^2$
$R^2 = 9 + 9 \cdot 3$
$R^2 = 9 + 27$
$R^2 = 36$
$R = \sqrt{36} = 6$ см.

Ответ: 6 см.