Номер 2, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Куб $OABCO_1A_1B_1C_1$ расположен в прямоугольной системе координат так, как показано на рисунке 12. Ребро куба равно 6. Найдите координаты вершин куба.

Рис. 12

2. Куб $OABCO_1A_1B_1C_1$ расположен в прямоугольной системе координат так, как показано на рисунке 12. Ребро куба равно 6. Найдите координаты вершин куба.

Рис. 12

Согласно условию, куб `OABCO₁A₁B₁C₁` имеет ребро длиной 6. Вершина O совпадает с началом прямоугольной системы координат. Из рисунка видно, что:

• Ребро `OC` лежит на положительной полуоси `Ox`.
• Ребро `OA` лежит на положительной полуоси `Oz`.
• Ребро `OO₁` лежит на отрицательной полуоси `Oy`.

Определим координаты каждой вершины куба.

Вершина O является началом координат.
Ответ: $O(0, 0, 0)$

Вершина A лежит на оси `Oz` на расстоянии 6 от начала координат.
Ответ: $A(0, 0, 6)$

Вершина C лежит на оси `Ox` на расстоянии 6 от начала координат.
Ответ: $C(6, 0, 0)$

Вершина O₁ лежит на оси `Oy` в отрицательном направлении на расстоянии 6 от начала координат.
Ответ: $O₁(0, -6, 0)$

Вершина B является четвертой вершиной квадрата `OABC` в плоскости `xOz` (`y=0`). Её радиус-вектор $\vec{OB}$ равен сумме векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$.
$\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{OC} = (0, 0, 6) + (6, 0, 0) = (6, 0, 6)$.
Ответ: $B(6, 0, 6)$

Вершина A₁ является четвертой вершиной квадрата `OAA₁O₁` в плоскости `yOz` (`x=0`). Её радиус-вектор $\vec{OA₁}$ равен сумме векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OO₁}$.
$\vec{OA₁} = \vec{OA} + \vec{OO₁} = (0, 0, 6) + (0, -6, 0) = (0, -6, 6)$.
Ответ: $A₁(0, -6, 6)$

Вершина C₁ является четвертой вершиной квадрата `OCC₁O₁` в плоскости `xOy` (`z=0`). Её радиус-вектор $\vec{OC₁}$ равен сумме векторов $\vec{OC}$ и $\vec{OO₁}$.
$\vec{OC₁} = \vec{OC} + \vec{OO₁} = (6, 0, 0) + (0, -6, 0) = (6, -6, 0)$.
Ответ: $C₁(6, -6, 0)$

Вершина B₁ является вершиной, противоположной вершине O. Её радиус-вектор $\vec{OB₁}$ равен сумме векторов трех ребер, выходящих из начала координат: $\vec{OA}$, $\vec{OC}$ и $\vec{OO₁}$.
$\vec{OB₁} = \vec{OA} + \vec{OC} + \vec{OO₁} = (0, 0, 6) + (6, 0, 0) + (0, -6, 0) = (6, -6, 6)$.
Ответ: $B₁(6, -6, 6)$