Номер 335, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

335. Диагональ осевого сечения усечённого конуса перпендикулярна его образующей, лежащей в плоскости сечения. Образующая усечённого конуса равна 30 см, а его высота — 24 см. Найдите площадь сферы, описанной около данного усечённого конуса.

335. Диагональ осевого сечения усеченного конуса перпендикулярна его образующей, лежащей в плоскости сечения. Образующая усеченного конуса равна 30 см, а его высота — 24 см. Найдите площадь сферы, описанной около данного усеченного конуса.

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Это равнобокая трапеция. Обозначим ее $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания. $AD = 2R_1$ и $BC = 2r_2$, где $R_1$ и $r_2$ — радиусы большего и меньшего оснований конуса соответственно. Боковые стороны $AB = CD = l$ являются образующими конуса. Высота конуса $h$ является высотой трапеции.

По условию задачи, образующая $l = 30$ см, высота $h = 24$ см. Диагональ осевого сечения, например $AC$, перпендикулярна образующей $CD$. Это означает, что треугольник $\triangle ACD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

1. Найдем радиусы оснований конуса $R_1$ и $r_2$.

Проведем высоту $CK$ из вершины $C$ на основание $AD$. Получим прямоугольный треугольник $\triangle CKD$. В нем гипотенуза $CD = l = 30$ см, катет $CK = h = 24$ см. Катет $KD$ равен разности радиусов оснований: $KD = R_1 - r_2$.

По теореме Пифагора для $\triangle CKD$:

$KD^2 + CK^2 = CD^2$

$(R_1 - r_2)^2 + h^2 = l^2$

$(R_1 - r_2)^2 + 24^2 = 30^2$

$(R_1 - r_2)^2 + 576 = 900$

$(R_1 - r_2)^2 = 900 - 576 = 324$

$R_1 - r_2 = \sqrt{324} = 18$ см.

Теперь воспользуемся условием $AC \perp CD$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ACD$ проведем высоту $CK$ к стороне $AD$. Из метрических соотношений в прямоугольном треугольнике известно, что квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Но здесь $AD$ - это не гипотенуза, а сторона. Гипотенузой является $AD$ в треугольнике $\triangle ACD$. Это неверно. Прямой угол $\angle ACD = 90^\circ$, значит гипотенуза - это сторона $AD$.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $\triangle ACD$, где $AD$ — гипотенуза: $AD^2 = AC^2 + CD^2$.

Выразим $AC^2$ через радиусы и высоту. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACK$. Катет $CK = h = 24$ см. Катет $AK = AD - KD = 2R_1 - (R_1 - r_2) = R_1 + r_2$.

По теореме Пифагора для $\triangle ACK$:

$AC^2 = AK^2 + CK^2 = (R_1 + r_2)^2 + h^2$.

Подставим известные величины в уравнение $AD^2 = AC^2 + CD^2$:

$(2R_1)^2 = ((R_1 + r_2)^2 + h^2) + l^2$

Из соотношения для $\triangle CKD$ мы знаем, что $l^2 = (R_1 - r_2)^2 + h^2$. Подставим это:

$4R_1^2 = (R_1 + r_2)^2 + h^2 + (R_1 - r_2)^2 + h^2$

$4R_1^2 = (R_1^2 + 2R_1r_2 + r_2^2) + (R_1^2 - 2R_1r_2 + r_2^2) + 2h^2$

$4R_1^2 = 2R_1^2 + 2r_2^2 + 2h^2$

$2R_1^2 = 2r_2^2 + 2h^2$

$R_1^2 = r_2^2 + h^2 \Rightarrow R_1^2 - r_2^2 = h^2$

$(R_1 - r_2)(R_1 + r_2) = h^2$

Мы уже нашли, что $R_1 - r_2 = 18$ см, и знаем, что $h=24$ см.

$18 \cdot (R_1 + r_2) = 24^2 = 576$

$R_1 + r_2 = \frac{576}{18} = 32$ см.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} R_1 - r_2 = 18 \\ R_1 + r_2 = 32 \end{cases}$

Сложив уравнения, получим: $2R_1 = 50 \Rightarrow R_1 = 25$ см.

Вычтя первое уравнение из второго: $2r_2 = 14 \Rightarrow r_2 = 7$ см.

2. Найдем радиус описанной сферы $R$.

Сфера, описанная около усеченного конуса, проходит через окружности его оснований. Центр такой сферы лежит на оси конуса. Радиус этой сферы равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения — равнобокой трапеции $ABCD$.

Поскольку треугольник $\triangle ACD$, являющийся частью трапеции, прямоугольный, то окружность, описанная около этого треугольника, имеет центр в середине его гипотенузы $AD$. Эта же окружность будет описана и около всей равнобокой трапеции $ABCD$.

Таким образом, центр описанной сферы лежит в центре большего основания конуса, а ее радиус $R$ равен радиусу большего основания $R_1$.

$R = R_1 = 25$ см.

3. Найдем площадь поверхности сферы.

Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$.

$S = 4\pi (25)^2 = 4\pi \cdot 625 = 2500\pi$ см$^2$.

Ответ: $2500\pi$ см$^2$.