Номер 304, страница 36 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

304. Образующая конуса равна $a$. Из центра основания конуса к образующей проведён перпендикуляр, который образует с высотой конуса угол $\alpha$. Найдите объём конуса.

304. Образующая конуса равна $a$. Из центра основания конуса к образующей проведён перпендикуляр, который образует с высотой конуса угол $\alpha$. Найдите объём конуса.

Обозначим конус. Пусть $S$ – его вершина, $O$ – центр основания, $SO$ – высота конуса (обозначим её $h$), $R$ – радиус основания ($OA$, где $A$ – точка на окружности основания), $a$ – образующая ($SA$). Рассмотрим осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник $SOA$, где $\angle SOA = 90^\circ$. По условию, $SA = a$.

Из центра основания $O$ проведём перпендикуляр $OK$ к образующей $SA$. По построению, $OK \perp SA$, следовательно, треугольник $SOK$ является прямоугольным ($\angle SKO = 90^\circ$).

По условию задачи, угол между перпендикуляром $OK$ и высотой $SO$ равен $\alpha$, то есть $\angle SOK = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOK$. Сумма его острых углов равна $90^\circ$. Отсюда можем найти угол $\angle OSK$:$\angle OSK = 90^\circ - \angle SOK = 90^\circ - \alpha$.

Угол $\angle OSK$ является тем же углом, что и угол $\angle OSA$ в треугольнике $SOA$. Теперь, зная гипотенузу $SA=a$ и один из острых углов $\angle OSA = 90^\circ - \alpha$ в прямоугольном треугольнике $SOA$, мы можем найти его катеты – высоту $h$ и радиус $R$.

Высота конуса $h$:$h = SO = SA \cdot \cos(\angle OSA) = a \cdot \cos(90^\circ - \alpha) = a \sin(\alpha)$.

Радиус основания $R$:$R = OA = SA \cdot \sin(\angle OSA) = a \cdot \sin(90^\circ - \alpha) = a \cos(\alpha)$.

Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 h$. Подставим в неё найденные выражения для $R$ и $h$:$V = \frac{1}{3}\pi (a \cos(\alpha))^2 (a \sin(\alpha)) = \frac{1}{3}\pi (a^2 \cos^2(\alpha)) (a \sin(\alpha)) = \frac{1}{3}\pi a^3 \sin(\alpha) \cos^2(\alpha)$.
Ответ: $V = \frac{1}{3}\pi a^3 \sin(\alpha) \cos^2(\alpha)$.