Номер 308, страница 37 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

308. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник. Каждое её боковое ребро равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объём конуса, описанного около пирамиды.

308. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник. Каждое её боковое ребро равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объём конуса, описанного около пирамиды.

Поскольку конус описан около пирамиды, их вершины совпадают, а основание пирамиды (прямоугольный треугольник) вписано в основание конуса (окружность).

Из условия известно, что все боковые рёбра пирамиды равны $b$ и образуют с плоскостью основания один и тот же угол $\beta$. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около треугольника в основании. Радиус этой окружности является радиусом основания конуса ($R$), а высота пирамиды — высотой конуса ($H$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом его основания $R$ и боковым ребром пирамиды $b$, которое в данном случае является образующей конуса. В этом треугольнике:

• гипотенуза равна боковому ребру $b$;
• катет $H$ противолежит углу $\beta$;
• катет $R$ прилежит к углу $\beta$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике находим:

Высота конуса: $H = b \cdot \sin(\beta)$

Радиус основания конуса: $R = b \cdot \cos(\beta)$

Теперь мы можем найти объём конуса по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.

Подставим найденные выражения для $H$ и $R$:

$V = \frac{1}{3}\pi (b \cdot \cos(\beta))^2 (b \cdot \sin(\beta))$

$V = \frac{1}{3}\pi (b^2 \cos^2(\beta)) (b \sin(\beta))$

$V = \frac{1}{3}\pi b^3 \sin(\beta) \cos^2(\beta)$

Ответ: $V = \frac{1}{3}\pi b^3 \sin(\beta) \cos^2(\beta)$