Номер 6, страница 55 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Контрольная работа № 6

Обобщение и систематизация знаний учащихся

1. Даны точки $A (1; -10; -2)$, $B (-5; 8; 8)$, $C (3; -6; -2)$ и $D (5; -7; 1)$. Докажите, что прямая $CD$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

2. Площадь поверхности шара равна $20 \text{ см}^2$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данного шара.

3. Через вершину конуса проведена плоскость под углом $ \alpha $ к плоскости основания. Эта плоскость пересекает основание конуса по хорде, которая видна из центра основания под углом $ \beta $ и расстояние до которой от вершины конуса равно $ h $. Найдите площадь сечения конуса данной плоскостью.

4. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с острым углом $ \alpha $. Диагональ боковой грани призмы, содержащей катет, прилежащий к углу $ \alpha $, равна $ d $ и наклонена к плоскости основания под углом $ \beta $. Найдите:

1) объём призмы;

2) площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около призмы.

5. Основание пирамиды — ромб с углом $ \alpha $. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $ \beta $. Найдите объём пирамиды, если радиус вписанной в неё сферы равен $ r $.

Чтобы доказать, что прямая $CD$ перпендикулярна плоскости $ABC$, необходимо показать, что вектор $\vec{CD}$ перпендикулярен двум неколлинеарным векторам, лежащим в этой плоскости, например, векторам $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.
1. Найдём координаты векторов по координатам заданных точек $A(1; -10; -2)$, $B(-5; 8; 8)$, $C(3; -6; -2)$ и $D(5; -7; 1)$:
$\vec{CD} = \{5-3; -7-(-6); 1-(-2)\} = \{2; -1; 3\}$.
$\vec{AB} = \{-5-1; 8-(-10); 8-(-2)\} = \{-6; 18; 10\}$.
$\vec{AC} = \{3-1; -6-(-10); -2-(-2)\} = \{2; 4; 0\}$.
2. Проверим, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ не коллинеарны. Их координаты не пропорциональны: $\frac{-6}{2} \neq \frac{18}{4}$, следовательно, векторы не коллинеарны и задают плоскость $ABC$.
3. Вычислим скалярное произведение вектора $\vec{CD}$ с векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:
$\vec{CD} \cdot \vec{AB} = 2 \cdot (-6) + (-1) \cdot 18 + 3 \cdot 10 = -12 - 18 + 30 = 0$.
Так как скалярное произведение равно нулю, то прямые $CD$ и $AB$ перпендикулярны ($CD \perp AB$).
$\vec{CD} \cdot \vec{AC} = 2 \cdot 2 + (-1) \cdot 4 + 3 \cdot 0 = 4 - 4 + 0 = 0$.
Так как скалярное произведение равно нулю, то прямые $CD$ и $AC$ перпендикулярны ($CD \perp AC$).
4. Поскольку прямая $CD$ перпендикулярна двум пересекающимся в точке $A$ прямым $AB$ и $AC$, лежащим в плоскости $ABC$, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $CD$ перпендикулярна плоскости $ABC$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

Площадь поверхности шара ($S_{шара}$) вычисляется по формуле $S_{шара} = 4\pi R^2$, где $R$ — радиус шара. По условию, $S_{шара} = 20$ см².
Для цилиндра, описанного около шара, радиус его основания $r_{цил}$ равен радиусу шара $R$, а высота цилиндра $h_{цил}$ равна диаметру шара $2R$.
Площадь полной поверхности цилиндра ($S_{цил}$) равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей оснований: $S_{цил} = 2\pi r_{цил} h_{цил} + 2\pi r_{цил}^2$.
Подставим значения $r_{цил} = R$ и $h_{цил} = 2R$:
$S_{цил} = 2\pi R (2R) + 2\pi R^2 = 4\pi R^2 + 2\pi R^2 = 6\pi R^2$.
Из условия нам известно, что $S_{шара} = 4\pi R^2 = 20$ см². Мы можем выразить $S_{цил}$ через $S_{шара}$:
$S_{цил} = 6\pi R^2 = \frac{6}{4} (4\pi R^2) = \frac{3}{2} S_{шара}$.
$S_{цил} = \frac{3}{2} \cdot 20 = 30$ см².
Ответ: 30 см².

Сечение конуса указанной плоскостью представляет собой равнобедренный треугольник. Обозначим вершину конуса как $S$, а хорду в основании, по которой проходит сечение, как $AB$. Тогда сечение — это треугольник $SAB$.
Площадь сечения $S_{сеч} = \frac{1}{2} AB \cdot SK$, где $SK$ — высота треугольника $SAB$, опущенная на основание $AB$.
В условии сказано, что расстояние от вершины конуса до хорды равно $h$. Это расстояние и есть высота $SK$. Таким образом, $SK = h$.
Пусть $O$ — центр основания конуса. Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания ($\alpha$) — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения (хорде $AB$). В данном случае это угол $\angle SKO = \alpha$. Треугольник $SOK$ является прямоугольным, так как $SO$ — высота конуса.
Из прямоугольного треугольника $SOK$ находим расстояние от центра основания до хорды: $OK = SK \cdot \cos\alpha = h \cos\alpha$.
Хорда $AB$ видна из центра основания $O$ под углом $\beta$, то есть $\angle AOB = \beta$. Треугольник $AOB$ — равнобедренный ($OA=OB=R$, где $R$ — радиус основания). Отрезок $OK$ является в нем высотой и биссектрисой. Следовательно, в прямоугольном треугольнике $AOK$ угол $\angle AOK = \frac{\beta}{2}$.
Из $\triangle AOK$ выразим половину хорды: $AK = OK \cdot \tan(\frac{\beta}{2})$. Тогда вся хорда $AB = 2AK = 2 OK \tan(\frac{\beta}{2})$.
Подставим ранее найденное выражение для $OK$:
$AB = 2 (h \cos\alpha) \tan(\frac{\beta}{2})$.
Теперь можем вычислить площадь сечения:
$S_{сеч} = \frac{1}{2} AB \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot (2h \cos\alpha \tan(\frac{\beta}{2})) \cdot h = h^2 \cos\alpha \tan(\frac{\beta}{2})$.
Ответ: $h^2 \cos\alpha \tan(\frac{\beta}{2})$.

Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник, пусть это $\triangle ABC$ с $\angle C = 90^\circ$ и острым углом $\angle A = \alpha$. Высота призмы $H$ равна её боковому ребру, например, $CC'$.
Катет, прилежащий к углу $\alpha$, — это $AC$. Боковая грань, содержащая этот катет, — прямоугольник $ACC'A'$. Диагональ этой грани $AC'$ равна $d$. Угол наклона диагонали к плоскости основания — это угол между $AC'$ и её проекцией $AC$, то есть $\angle C'AC = \beta$.
Из прямоугольного треугольника $\triangle C'AC$ (где $\angle C = 90^\circ$) находим высоту призмы и катет основания:
$H = C'C = AC' \sin\beta = d \sin\beta$.
$AC = AC' \cos\beta = d \cos\beta$.
Из треугольника основания $\triangle ABC$ находим второй катет $BC$:
$BC = AC \tan\alpha = d \cos\beta \tan\alpha$.
1) объём призмы
Объём призмы $V$ равен произведению площади основания $S_{осн}$ на высоту $H$.
Площадь основания $S_{осн} = \frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} (d \cos\beta) (d \cos\beta \tan\alpha) = \frac{1}{2} d^2 \cos^2\beta \tan\alpha$.
$V = S_{осн} \cdot H = \left(\frac{1}{2} d^2 \cos^2\beta \tan\alpha\right) (d \sin\beta) = \frac{1}{2} d^3 \sin\beta \cos^2\beta \tan\alpha$.
Ответ: $\frac{1}{2} d^3 \sin\beta \cos^2\beta \tan\alpha$.
2) площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около призмы
Высота описанного цилиндра $h_{цил}$ равна высоте призмы: $h_{цил} = H = d \sin\beta$.
Радиус основания цилиндра $R_{цил}$ равен радиусу окружности, описанной около основания призмы. Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: $R_{цил} = \frac{AB}{2}$.
Найдем гипотенузу $AB$ из $\triangle ABC$: $AB = \frac{AC}{\cos\alpha} = \frac{d \cos\beta}{\cos\alpha}$.
Тогда радиус $R_{цил} = \frac{1}{2} \cdot \frac{d \cos\beta}{\cos\alpha} = \frac{d \cos\beta}{2 \cos\alpha}$.
Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi R_{цил} h_{цил}$.
$S_{бок} = 2\pi \left(\frac{d \cos\beta}{2 \cos\alpha}\right) (d \sin\beta) = \frac{\pi d^2 \sin\beta \cos\beta}{\cos\alpha}$.
Ответ можно также записать с использованием формулы синуса двойного угла: $S_{бок} = \frac{\pi d^2 \sin(2\beta)}{2 \cos\alpha}$.
Ответ: $\frac{\pi d^2 \sin\beta \cos\beta}{\cos\alpha}$.

Так как все двугранные углы при рёбрах основания пирамиды равны $\beta$, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Для ромба — это точка пересечения диагоналей $O$. Высота пирамиды $H=SO$.
Рассмотрим сечение пирамиды, проходящее через высоту $SO$ и апофему боковой грани $SK$. В этом сечении $\triangle SOK$ прямоугольный, $OK=r_{in}$ — радиус вписанной в основание окружности, а $\angle SKO = \beta$.
Центр вписанной в пирамиду сферы лежит на высоте $SO$. Из геометрических соображений можно установить связь между радиусом вписанной сферы $r$, высотой пирамиды $H$ и радиусом вписанной в основание окружности $r_{in}$:
$r_{in} = r \cot(\frac{\beta}{2})$ и $H = r_{in} \tan\beta$.
Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} H$.
Площадь основания (ромба) $S_{осн}$ можно выразить через $r_{in}$ и угол ромба $\alpha$. Высота ромба $h_{ромб} = 2r_{in}$. Сторона ромба $a = \frac{h_{ромб}}{\sin\alpha} = \frac{2r_{in}}{\sin\alpha}$.
$S_{осн} = a \cdot h_{ромб} = \frac{2r_{in}}{\sin\alpha} \cdot 2r_{in} = \frac{4r_{in}^2}{\sin\alpha}$.
Теперь выразим объём через $r_{in}$:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot \frac{4r_{in}^2}{\sin\alpha} \cdot (r_{in} \tan\beta) = \frac{4 r_{in}^3 \tan\beta}{3 \sin\alpha}$.
Наконец, подставим выражение для $r_{in}$ через радиус вписанной сферы $r$:
$V = \frac{4 (r \cot(\frac{\beta}{2}))^3 \tan\beta}{3 \sin\alpha} = \frac{4r^3 \cot^3(\frac{\beta}{2}) \tan\beta}{3 \sin\alpha}$.
Ответ: $\frac{4r^3 \cot^3(\frac{\beta}{2}) \tan\beta}{3 \sin\alpha}$.