Номер 1, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Вариант 2

Контрольная работа № 1

Координаты и векторы в пространстве

1. Точки C и D симметричны относительно точки M. Найдите координаты точки C, если D $(-6; 2; 3)$, M $(3; -2; -5)$.

2. Даны точки A $(2; 4; -1)$, B $(-1; 1; 3)$ и C $(5; 1; 2)$. Найдите:

1) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC;

2) координаты точки D такой, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

3. Даны векторы $\vec{m} (1; -4; -3)$ и $\vec{n} (5; p; -15)$. При каком значении $p$ векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$:

1) коллинеарны;

2) перпендикулярны?

4. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M $(3; -4; 1)$ и перпендикулярной прямой MK, если K $(6; -8; 3)$.

5. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен 60°, $\lvert \vec{a} \rvert = \lvert \vec{b} \rvert = 1$. Найдите скалярное произведение $(3\vec{a} + \vec{b})(\vec{a} - \vec{b})$.

6. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно 1 см. На отрезке $CD_1$ отметили точку F так, что $CF : FD_1 = 1 : 5$.

1) Выразите вектор $\vec{BF}$ через векторы $\vec{BA}$, $\vec{BC}$ и $\vec{BB_1}$.

2) Найдите угол между прямыми BF и $AC_1$.

1.

Поскольку точки C и D симметричны относительно точки M, то точка M является серединой отрезка CD. Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое соответствующих координат его концов. Пусть точка C имеет координаты $(x_C; y_C; z_C)$.

Тогда для каждой координаты выполняются равенства:

$x_M = \frac{x_C + x_D}{2} \Rightarrow x_C = 2x_M - x_D$

$y_M = \frac{y_C + y_D}{2} \Rightarrow y_C = 2y_M - y_D$

$z_M = \frac{z_C + z_D}{2} \Rightarrow z_C = 2z_M - z_D$

Подставим известные значения координат точек D(–6; 2; 3) и M(3; –2; –5):

$x_C = 2 \cdot 3 - (-6) = 6 + 6 = 12$

$y_C = 2 \cdot (-2) - 2 = -4 - 2 = -6$

$z_C = 2 \cdot (-5) - 3 = -10 - 3 = -13$

Таким образом, координаты точки C: (12; –6; –13).

Ответ: C(12; –6; –13).

2.

1) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC;

Координаты точки пересечения медиан треугольника (центроида) равны среднему арифметическому координат его вершин. Обозначим эту точку O($x_O; y_O; z_O$).

$x_O = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} = \frac{2 + (-1) + 5}{3} = \frac{6}{3} = 2$

$y_O = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} = \frac{4 + 1 + 1}{3} = \frac{6}{3} = 2$

$z_O = \frac{z_A + z_B + z_C}{3} = \frac{-1 + 3 + 2}{3} = \frac{4}{3}$

Координаты точки пересечения медиан: $(2; 2; \frac{4}{3})$.

Ответ: $(2; 2; \frac{4}{3})$.

2) координаты точки D такой, что четырехугольник ABCD — параллелограмм.

Для того чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось векторное равенство $\vec{AB} = \vec{DC}$. Пусть точка D имеет координаты $(x; y; z)$.

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (-1 - 2; 1 - 4; 3 - (-1)) = (-3; -3; 4)$.

Выразим координаты вектора $\vec{DC}$ через координаты точек C и D:

$\vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D; z_C - z_D) = (5 - x; 1 - y; 2 - z)$.

Приравняем соответствующие координаты векторов:

$5 - x = -3 \Rightarrow x = 8$

$1 - y = -3 \Rightarrow y = 4$

$2 - z = 4 \Rightarrow z = -2$

Координаты точки D: (8; 4; –2).

Ответ: D(8; 4; –2).

3.

Даны векторы $\vec{m}(1; -4; -3)$ и $\vec{n}(5; p; -15)$.

1) коллинеарны;

Векторы коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. То есть, существует такое число $k$, что $\vec{n} = k \cdot \vec{m}$.

$\frac{n_x}{m_x} = \frac{n_y}{m_y} = \frac{n_z}{m_z}$

$\frac{5}{1} = \frac{p}{-4} = \frac{-15}{-3}$

Из первого и третьего отношений находим коэффициент пропорциональности: $k = \frac{5}{1} = 5$ и $k = \frac{-15}{-3} = 5$.

Теперь, используя второе отношение, найдем $p$:

$\frac{p}{-4} = 5 \Rightarrow p = 5 \cdot (-4) = -20$.

Ответ: $p = -20$.

2) перпендикулярны?

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$.

$\vec{m} \cdot \vec{n} = m_x n_x + m_y n_y + m_z n_z = 0$

$1 \cdot 5 + (-4) \cdot p + (-3) \cdot (-15) = 0$

$5 - 4p + 45 = 0$

$50 - 4p = 0$

$4p = 50$

$p = \frac{50}{4} = \frac{25}{2} = 12.5$.

Ответ: $p = 12.5$.

4.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $P_0(x_0; y_0; z_0)$ с вектором нормали $\vec{N}(A; B; C)$, имеет вид: $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$.

Плоскость проходит через точку M(3; –4; 1), следовательно, $x_0=3, y_0=-4, z_0=1$.

Плоскость перпендикулярна прямой MK, значит, вектор $\vec{MK}$ является вектором нормали к этой плоскости: $\vec{N} = \vec{MK}$.

Найдем координаты вектора $\vec{MK}$:

$\vec{MK} = (x_K - x_M; y_K - y_M; z_K - z_M) = (6 - 3; -8 - (-4); 3 - 1) = (3; -4; 2)$.

Таким образом, вектор нормали $\vec{N}(3; -4; 2)$, т.е. $A=3, B=-4, C=2$.

Подставим координаты точки M и вектора нормали в уравнение плоскости:

$3(x - 3) - 4(y - (-4)) + 2(z - 1) = 0$

$3(x - 3) - 4(y + 4) + 2(z - 1) = 0$

$3x - 9 - 4y - 16 + 2z - 2 = 0$

$3x - 4y + 2z - 27 = 0$

Ответ: $3x - 4y + 2z - 27 = 0$.

5.

Требуется найти скалярное произведение $(3\vec{a} + \vec{b})(\vec{a} - \vec{b})$. Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

$(3\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 3\vec{a} \cdot \vec{a} - 3\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}$

Так как $\vec{b} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{b}$, выражение упрощается:

$= 3(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) - (\vec{b} \cdot \vec{b})$

Используем определения: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$, $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$ и $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta)$, где $\theta$ - угол между векторами.

По условию, $|\vec{a}|=1$, $|\vec{b}|=1$, а угол между векторами равен 60°.

Найдем $\vec{a} \cdot \vec{b}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Подставим все значения в исходное выражение:

$3|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) - |\vec{b}|^2 = 3 \cdot 1^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} - 1^2 = 3 \cdot 1 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1$.

Ответ: 1.

6.

1) Выразите вектор $\vec{BF}$ через векторы $\vec{BA}$, $\vec{BC}$ и $\vec{BB_1}$.

Выразим вектор $\vec{BF}$ по правилу многоугольника: $\vec{BF} = \vec{BC} + \vec{CF}$.

Точка F лежит на отрезке $CD_1$ и делит его в отношении $CF:FD_1 = 1:5$. Это означает, что вектор $\vec{CF}$ составляет $\frac{1}{1+5} = \frac{1}{6}$ от вектора $\vec{CD_1}$.

$\vec{CF} = \frac{1}{6}\vec{CD_1}$.

Теперь выразим вектор $\vec{CD_1}$ через базисные векторы. Из точки C в точку $D_1$ можно попасть по маршруту $C \rightarrow D \rightarrow D_1$.

$\vec{CD_1} = \vec{CD} + \vec{DD_1}$.

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вектор $\vec{CD}$ равен вектору $\vec{BA}$, а вектор $\vec{DD_1}$ равен вектору $\vec{BB_1}$.

$\vec{CD} = \vec{BA}$

$\vec{DD_1} = \vec{BB_1}$

Следовательно, $\vec{CD_1} = \vec{BA} + \vec{BB_1}$.

Подставим это в выражение для $\vec{CF}$: $\vec{CF} = \frac{1}{6}(\vec{BA} + \vec{BB_1})$.

Наконец, подставим полученное выражение для $\vec{CF}$ в исходное равенство для $\vec{BF}$:

$\vec{BF} = \vec{BC} + \frac{1}{6}(\vec{BA} + \vec{BB_1}) = \frac{1}{6}\vec{BA} + \vec{BC} + \frac{1}{6}\vec{BB_1}$.

Ответ: $\vec{BF} = \frac{1}{6}\vec{BA} + \vec{BC} + \frac{1}{6}\vec{BB_1}$.

2) Найдите угол между прямыми BF и $AC_1$.

Для нахождения угла между прямыми в пространстве удобно использовать метод координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке A(0; 0; 0). Оси направим вдоль ребер: ось Ox вдоль AB, ось Oy вдоль AD, ось Oz вдоль $AA_1$. Так как ребро куба равно 1, координаты вершин будут:

A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0), $C_1$(1; 1; 1), $D_1$(0; 1; 1).

Найдем координаты точки F. Так как $CF:FD_1 = 1:5$, координаты F можно найти по формуле деления отрезка в данном отношении:

$x_F = \frac{5x_C + 1x_{D_1}}{5+1} = \frac{5 \cdot 1 + 1 \cdot 0}{6} = \frac{5}{6}$

$y_F = \frac{5y_C + 1y_{D_1}}{5+1} = \frac{5 \cdot 1 + 1 \cdot 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$

$z_F = \frac{5z_C + 1z_{D_1}}{5+1} = \frac{5 \cdot 0 + 1 \cdot 1}{6} = \frac{1}{6}$

Итак, F($\frac{5}{6}$; 1; $\frac{1}{6}$).

Направляющим вектором прямой BF является вектор $\vec{BF}$.

$\vec{BF} = (x_F - x_B; y_F - y_B; z_F - z_B) = (\frac{5}{6} - 1; 1 - 0; \frac{1}{6} - 0) = (-\frac{1}{6}; 1; \frac{1}{6})$.

Направляющим вектором прямой $AC_1$ является вектор $\vec{AC_1}$.

$\vec{AC_1} = (x_{C_1} - x_A; y_{C_1} - y_A; z_{C_1} - z_A) = (1 - 0; 1 - 0; 1 - 0) = (1; 1; 1)$.

Угол $\varphi$ между прямыми найдем через косинус угла между их направляющими векторами:

$\cos \varphi = \frac{|\vec{BF} \cdot \vec{AC_1}|}{|\vec{BF}| \cdot |\vec{AC_1}|}$

Скалярное произведение:

$\vec{BF} \cdot \vec{AC_1} = (-\frac{1}{6}) \cdot 1 + 1 \cdot 1 + \frac{1}{6} \cdot 1 = -\frac{1}{6} + 1 + \frac{1}{6} = 1$.

Модули векторов:

$|\vec{BF}| = \sqrt{(-\frac{1}{6})^2 + 1^2 + (\frac{1}{6})^2} = \sqrt{\frac{1}{36} + 1 + \frac{1}{36}} = \sqrt{\frac{38}{36}} = \frac{\sqrt{38}}{6}$.

$|\vec{AC_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.

Подставляем значения в формулу косинуса:

$\cos \varphi = \frac{1}{\frac{\sqrt{38}}{6} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{114}}$.

Следовательно, угол $\varphi = \arccos(\frac{6}{\sqrt{114}})$.

Ответ: $\arccos(\frac{6}{\sqrt{114}})$.