Номер 3, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Контрольная работа № 3

Сфера и шар. Уравнение сферы. Комбинации шара с многогранниками, цилиндром и конусом

1. Диаметр шара равен 30 см. Найдите расстояние от центра шара до его сечения, площадь которого равна $81\pi$ см$^2$.

2. Составьте уравнение сферы, если она проходит через точку $P (6; -8; 3)$, центр сферы принадлежит оси аппликат, а радиус сферы равен $\sqrt{109}$.

3. Образующая конуса равна 10 см, а радиус основания — 8 см. Найдите радиус шара, вписанного в данный конус.

4. Основанием пирамиды является ромб с острым углом $\alpha$, а его меньшая диагональ равна $d$. Все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\beta$. Найдите радиус шара, вписанного в данную пирамиду.

5. Двугранный угол правильной треугольной пирамиды при ребре основания равен $\alpha$, а апофема пирамиды равна $a$. Найдите радиус сферы, описанной около данной пирамиды.

1.

Диаметр шара равен 30 см, следовательно, его радиус $R = \frac{30}{2} = 15$ см.Сечение шара является кругом. Площадь этого круга $S_{сеч}$ равна $81\pi$ см².Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ - радиус круга.Найдем радиус сечения $r$:$\pi r^2 = 81\pi$$r^2 = 81$$r = 9$ см.Радиус шара $R$, радиус сечения $r$ и расстояние от центра шара до сечения $d$ образуют прямоугольный треугольник, где $R$ является гипотенузой, а $r$ и $d$ - катетами.По теореме Пифагора: $R^2 = r^2 + d^2$.Подставим известные значения:$15^2 = 9^2 + d^2$$225 = 81 + d^2$$d^2 = 225 - 81 = 144$$d = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ: 12 см.

2.

Общее уравнение сферы с центром в точке $(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$.По условию, центр сферы принадлежит оси аппликат (оси $Oz$), значит его координаты $(0; 0; z_0)$.Радиус сферы $R = \sqrt{109}$, следовательно, $R^2 = 109$.Уравнение сферы принимает вид: $x^2 + y^2 + (z - z_0)^2 = 109$.Сфера проходит через точку $P(6; -8; 3)$. Подставим координаты этой точки в уравнение сферы, чтобы найти $z_0$:$6^2 + (-8)^2 + (3 - z_0)^2 = 109$$36 + 64 + (3 - z_0)^2 = 109$$100 + (3 - z_0)^2 = 109$$(3 - z_0)^2 = 9$Отсюда получаем два возможных значения для $z_0$:1) $3 - z_0 = 3 \implies z_0 = 0$2) $3 - z_0 = -3 \implies z_0 = 6$Таким образом, существуют две сферы, удовлетворяющие условиям задачи.Их уравнения:1) При $z_0 = 0$: $x^2 + y^2 + z^2 = 109$.2) При $z_0 = 6$: $x^2 + y^2 + (z - 6)^2 = 109$.

Ответ: $x^2 + y^2 + z^2 = 109$ или $x^2 + y^2 + (z - 6)^2 = 109$.

3.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник, в который вписана окружность, являющаяся сечением вписанного шара.Основание треугольника равно диаметру основания конуса $2 \cdot 8 = 16$ см, а боковые стороны равны образующей конуса, то есть 10 см.Найдем высоту конуса $H$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом основания $r_{кон} = 8$ см и образующей $l = 10$ см:$H^2 + r_{кон}^2 = l^2$$H^2 + 8^2 = 10^2$$H^2 + 64 = 100$$H^2 = 36 \implies H = 6$ см.Радиус шара, вписанного в конус, $r_{шара}$ равен радиусу окружности, вписанной в осевое сечение.Радиус вписанной окружности можно найти из подобия треугольников. В осевом сечении рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, образующей $l$ и радиусом основания $r_{кон}$. Центр вписанного шара лежит на высоте конуса.Из подобия треугольников получаем соотношение:$\frac{r_{шара}}{r_{кон}} = \frac{H - r_{шара}}{l}$Подставим известные значения:$\frac{r_{шара}}{8} = \frac{6 - r_{шара}}{10}$$10 \cdot r_{шара} = 8 \cdot (6 - r_{шара})$$10 r_{шара} = 48 - 8 r_{шара}$$18 r_{шара} = 48$$r_{шара} = \frac{48}{18} = \frac{8}{3}$ см.

Ответ: $\frac{8}{3}$ см.

4.

Так как все двугранные углы при ребрах основания равны $\beta$, то вершина пирамиды проектируется в центр вписанной в основание окружности.Основанием является ромб с острым углом $\alpha$ и меньшей диагональю $d$. Центр вписанной окружности ромба — точка пересечения его диагоналей.Радиус шара, вписанного в такую пирамиду, находится по формуле $r_{шара} = r_{осн} \tan(\frac{\beta}{2})$, где $r_{осн}$ — радиус окружности, вписанной в основание.Найдем $r_{осн}$. Рассмотрим половину ромба, представляющую собой равнобедренный треугольник с основанием $d$ и углами при основании $(180^\circ - \alpha) / 2 = 90^\circ - \alpha/2$. Сторона ромба $a$ находится из треугольника, образованного половинами диагоналей. Угол при вершине этого треугольника равен $\alpha/2$.$\sin(\alpha/2) = \frac{d/2}{a}$, откуда сторона ромба $a = \frac{d}{2\sin(\alpha/2)}$.Высота ромба $h_{ромб} = a \sin(\alpha)$.Радиус вписанной в ромб окружности равен половине его высоты:$r_{осн} = \frac{h_{ромб}}{2} = \frac{a \sin(\alpha)}{2} = \frac{d}{2\sin(\alpha/2)} \cdot \frac{\sin(\alpha)}{2} = \frac{d \cdot 2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)}{4\sin(\alpha/2)} = \frac{d}{2}\cos(\frac{\alpha}{2})$.Теперь найдем радиус вписанного шара:$r_{шара} = r_{осн} \tan(\frac{\beta}{2}) = \frac{d}{2}\cos(\frac{\alpha}{2})\tan(\frac{\beta}{2})$.

Ответ: $\frac{d}{2}\cos(\frac{\alpha}{2})\tan(\frac{\beta}{2})$.

5.

Для правильной пирамиды радиус описанной сферы $R$ можно найти по формуле $R = \frac{b^2}{2H}$, где $b$ — длина бокового ребра, а $H$ — высота пирамиды.Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой $a$ и радиусом $r_{осн}$ вписанной в основание окружности. Двугранный угол при ребре основания $\alpha$ — это угол между апофемой и радиусом $r_{осн}$.Из этого треугольника находим:Высота пирамиды $H = a \sin(\alpha)$.Радиус вписанной в основание окружности $r_{осн} = a \cos(\alpha)$.Основание пирамиды — правильный треугольник. Для правильного треугольника радиус описанной окружности $R_{осн}$ в два раза больше радиуса вписанной окружности:$R_{осн} = 2 r_{осн} = 2a \cos(\alpha)$.Боковое ребро $b$ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H$ и радиусом описанной окружности основания $R_{осн}$:$b^2 = H^2 + R_{осн}^2 = (a \sin(\alpha))^2 + (2a \cos(\alpha))^2 = a^2 \sin^2(\alpha) + 4a^2 \cos^2(\alpha) = a^2(\sin^2(\alpha) + 4\cos^2(\alpha))$.Теперь подставим найденные $b^2$ и $H$ в формулу для радиуса описанной сферы:$R = \frac{b^2}{2H} = \frac{a^2(\sin^2(\alpha) + 4\cos^2(\alpha))}{2a \sin(\alpha)} = \frac{a(\sin^2(\alpha) + 4\cos^2(\alpha))}{2 \sin(\alpha)}$.Выражение в скобках можно упростить: $\sin^2(\alpha) + 4\cos^2(\alpha) = (\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)) + 3\cos^2(\alpha) = 1 + 3\cos^2(\alpha)$.Тогда радиус сферы:$R = \frac{a(1 + 3\cos^2(\alpha))}{2 \sin(\alpha)}$.

Ответ: $\frac{a(1 + 3\cos^2(\alpha))}{2 \sin(\alpha)}$.