Номер 4, страница 47 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Контрольная работа № 4

Объёмы многогранников

1. Основанием прямой призмы является прямоугольник, одна из сторон которого равна 15 см, а диагональ — 17 см. Найдите объём призмы, если её высота равна 10 см.

2. Найдите объём правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна 12 см, а боковые рёбра образуют с плоскостью основания угол $30^\circ$.

3. Найдите объём правильной четырёхугольной усечённой пирамиды, стороны оснований которой равны 4 см и 6 см, а высота — 9 см.

4. Боковое ребро наклонного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 9 см. Расстояние между прямыми $DD_1$ и $CC_1$ равно 6 см, между прямыми $BB_1$ и $CC_1$ — 3 см, а двугранный угол параллелепипеда при ребре $CC_1$ равен $30^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

5. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно $a$, а плоский угол при вершине — $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

1.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Основание призмы — прямоугольник. Пусть его стороны равны $a$ и $b$. По условию, одна из сторон равна 15 см, а диагональ — 17 см. Пусть $a = 15$ см, диагональ $d = 17$ см. По теореме Пифагора для прямоугольника $a^2 + b^2 = d^2$.

Найдём вторую сторону прямоугольника $b$:
$15^2 + b^2 = 17^2$
$225 + b^2 = 289$
$b^2 = 289 - 225 = 64$
$b = \sqrt{64} = 8$ см.

Площадь основания (прямоугольника) равна:
$S_{осн} = a \cdot b = 15 \cdot 8 = 120$ см².

Высота призмы по условию равна $H = 10$ см. Теперь найдём объём призмы:
$V = S_{осн} \cdot H = 120 \cdot 10 = 1200$ см³.

Ответ: 1200 см³.

2.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Пирамида правильная треугольная, значит, в её основании лежит правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a_{осн} = 12$ см. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{a_{осн}^2\sqrt{3}}{4}$.
$S_{осн} = \frac{12^2\sqrt{3}}{4} = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$ см².

Высота правильной пирамиды проецируется в центр её основания, который для равностороннего треугольника является центром описанной окружности. Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между ребром и его проекцией на основание. Проекцией бокового ребра является радиус $R$ описанной окружности основания. Таким образом, высота пирамиды $H$, радиус $R$ и боковое ребро $l$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $\tg(30^\circ) = \frac{H}{R}$.

Найдём радиус $R$ описанной окружности для равностороннего треугольника: $R = \frac{a_{осн}}{\sqrt{3}}$.
$R = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь найдём высоту пирамиды $H$:
$H = R \cdot \tg(30^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 4$ см.

Наконец, вычислим объём пирамиды:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 36\sqrt{3} \cdot 4 = 12\sqrt{3} \cdot 4 = 48\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $48\sqrt{3}$ см³.

3.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} H (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$, где $H$ — высота усечённой пирамиды, $S_1$ и $S_2$ — площади её оснований.

Пирамида правильная четырёхугольная, значит, её основания — квадраты. Стороны оснований равны $a_1 = 6$ см и $a_2 = 4$ см. Высота $H = 9$ см.

Найдём площади оснований:
$S_1 = a_1^2 = 6^2 = 36$ см².
$S_2 = a_2^2 = 4^2 = 16$ см².

Теперь подставим все значения в формулу объёма:
$V = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot (36 + 16 + \sqrt{36 \cdot 16})$
$V = 3 \cdot (52 + \sqrt{576})$
$V = 3 \cdot (52 + 24)$
$V = 3 \cdot 76 = 228$ см³.

Ответ: 228 см³.

4.

Объём наклонного параллелепипеда можно найти по формуле $V = S_{\perp} \cdot l$, где $l$ — длина бокового ребра, а $S_{\perp}$ — площадь перпендикулярного сечения (сечения, перпендикулярного боковым рёбрам).

По условию, длина бокового ребра $l = CC_1 = 9$ см. Перпендикулярное сечение параллелепипеда является параллелограммом. Его стороны равны расстояниям между боковыми рёбрами, а угол между сторонами равен двугранному углу при боковом ребре.

Стороны параллелограмма перпендикулярного сечения равны $a = 3$ см (расстояние между $BB_1$ и $CC_1$) и $b = 6$ см (расстояние между $DD_1$ и $CC_1$). Угол между этими сторонами равен $\gamma = 30^\circ$ (двугранный угол при ребре $CC_1$).

Найдём площадь перпендикулярного сечения $S_{\perp}$ по формуле площади параллелограмма:
$S_{\perp} = a \cdot b \cdot \sin(\gamma) = 3 \cdot 6 \cdot \sin(30^\circ)$.
$S_{\perp} = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$ см².

Теперь вычислим объём параллелепипеда:
$V = S_{\perp} \cdot l = 9 \cdot 9 = 81$ см³.

Ответ: 81 см³.

5.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.

Пирамида правильная треугольная. Боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Пусть боковое ребро равно $l=a$, а плоский угол при вершине равен $\alpha$. Сторона основания $a_{осн}$ является основанием этого равнобедренного треугольника. Найдём её по теореме косинусов:
$a_{осн}^2 = l^2 + l^2 - 2 \cdot l \cdot l \cdot \cos(\alpha) = 2a^2 - 2a^2\cos(\alpha) = 2a^2(1 - \cos(\alpha))$.
Используя формулу $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем:
$a_{осн}^2 = 2a^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$.
$a_{осн} = 2a\sin(\frac{\alpha}{2})$.

Основание пирамиды — равносторонний треугольник со стороной $a_{осн}$. Его площадь:
$S_{осн} = \frac{a_{осн}^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3}\sin^2(\frac{\alpha}{2})$.

Высота пирамиды $H$, боковое ребро $l=a$ и радиус $R$ описанной окружности основания образуют прямоугольный треугольник, где $H^2 = l^2 - R^2$. Радиус описанной окружности для равностороннего треугольника $R = \frac{a_{осн}}{\sqrt{3}}$.
$R = \frac{2a\sin(\frac{\alpha}{2})}{\sqrt{3}}$.
Найдём высоту $H$:
$H^2 = a^2 - R^2 = a^2 - \left(\frac{2a\sin(\frac{\alpha}{2})}{\sqrt{3}}\right)^2 = a^2 - \frac{4a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})}{3} = a^2\left(1 - \frac{4}{3}\sin^2(\frac{\alpha}{2})\right)$.
Так как $1 - \frac{4}{3}\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 1 - \frac{4}{3}\frac{1-\cos(\alpha)}{2} = 1 - \frac{2(1-\cos(\alpha))}{3} = \frac{3 - 2 + 2\cos(\alpha)}{3} = \frac{1+2\cos(\alpha)}{3}$.
$H^2 = a^2 \frac{1+2\cos(\alpha)}{3} \implies H = a\sqrt{\frac{1+2\cos(\alpha)}{3}}$.

Теперь найдём объём пирамиды:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot a^2\sqrt{3}\sin^2(\frac{\alpha}{2}) \cdot a\sqrt{\frac{1+2\cos(\alpha)}{3}}$.
$V = \frac{1}{3} a^3\sqrt{3}\sin^2(\frac{\alpha}{2}) \frac{\sqrt{1+2\cos(\alpha)}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3} a^3\sin^2(\frac{\alpha}{2}) \sqrt{1+2\cos(\alpha)}$.
Подставив $\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1-\cos(\alpha)}{2}$, получим окончательную формулу:
$V = \frac{1}{3} a^3 \frac{1-\cos(\alpha)}{2} \sqrt{1+2\cos(\alpha)} = \frac{a^3}{6}(1-\cos(\alpha))\sqrt{1+2\cos(\alpha)}$.

Ответ: $V = \frac{a^3}{6}(1-\cos(\alpha))\sqrt{1+2\cos(\alpha)}$.