Номер 20, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 20

Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды

1. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 16 см, а острый угол — $60^\circ$. Все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $45^\circ$. Найдите объём пирамиды.

2. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с основанием 8 см и боковой стороной 5 см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите объём пирамиды.

3. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол пирамиды при боковом ребре равен $120^\circ$, высота пирамиды равна 12 см. Найдите объём пирамиды.

1.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.
Основанием пирамиды является ромб со стороной $a = 16$ см и острым углом $\alpha = 60°$. Площадь основания (ромба) равна: $S_{осн} = a^2 \sin\alpha = 16^2 \sin(60°) = 256 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 128\sqrt{3}$ см².
Условие равенства всех двугранных углов при рёбрах основания (45°) означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в ромб. Высота пирамиды $H$, радиус вписанной окружности $r$ и двугранный угол $\beta = 45°$ связаны соотношением $H = r \cdot \tan\beta$. Так как $\tan(45°) = 1$, то высота пирамиды равна радиусу вписанной окружности: $H = r$.
Радиус вписанной в ромб окружности можно найти, зная его площадь и высоту $h_{ромба}$. Высота ромба равна диаметру вписанной окружности: $h_{ромба} = 2r$. Формула площади ромба: $S_{осн} = a \cdot h_{ромба} = a \cdot 2r$. Подставим известные значения: $128\sqrt{3} = 16 \cdot 2r = 32r$.
Отсюда находим радиус: $r = \frac{128\sqrt{3}}{32} = 4\sqrt{3}$ см.
Следовательно, высота пирамиды $H = r = 4\sqrt{3}$ см.
Теперь вычислим объём пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 128\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 128 \cdot 4 \cdot 3 = 128 \cdot 4 = 512$ см³.
Ответ: $512$ см³.

2.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$.
В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с основанием $c = 8$ см и боковыми сторонами $a = b = 5$ см. Сначала найдём площадь основания. Проведём высоту $h_c$ к основанию треугольника. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является и медианой, поэтому она делит основание на два отрезка по $8/2 = 4$ см. По теореме Пифагора найдём высоту треугольника: $h_c = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ см.
Площадь основания равна: $S_{осн} = \frac{1}{2} c \cdot h_c = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12$ см².
Так как каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания одинаковый угол $\gamma = 30°$, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания. Высота пирамиды $H$ и радиус описанной окружности $R$ связаны соотношением $H = R \cdot \tan\gamma$.
Радиус описанной около треугольника окружности найдём по формуле $R = \frac{abc}{4S_{осн}}$: $R = \frac{5 \cdot 5 \cdot 8}{4 \cdot 12} = \frac{200}{48} = \frac{25}{6}$ см.
Теперь найдём высоту пирамиды: $H = R \tan(30°) = \frac{25}{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{25}{6\sqrt{3}}$ см.
Наконец, вычислим объём пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot \frac{25}{6\sqrt{3}} = 4 \cdot \frac{25}{6\sqrt{3}} = \frac{100}{6\sqrt{3}} = \frac{50}{3\sqrt{3}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе: $V = \frac{50\sqrt{3}}{3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \frac{50\sqrt{3}}{9}$ см³.
Ответ: $\frac{50\sqrt{3}}{9}$ см³.

3.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$. Высота $H = 12$ см известна. Пирамида правильная треугольная, значит в её основании лежит равносторонний треугольник со стороной $a$. Площадь основания $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Задача сводится к нахождению стороны основания $a$.
Двугранный угол при боковом ребре равен $120°$. Для нахождения его линейного угла проведём перпендикуляры $AK$ и $CK$ к боковому ребру $SB$ в плоскостях граней $ASB$ и $CSB$ соответственно. Тогда $\angle AKC = 120°$.
Треугольник $AKC$ — равнобедренный ($AK=CK$, так как боковые грани равны), $AC=a$. По теореме косинусов для $\triangle AKC$: $AC^2 = AK^2 + CK^2 - 2 \cdot AK \cdot CK \cos(120°)$
$a^2 = AK^2 + AK^2 - 2 \cdot AK^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2AK^2 + AK^2 = 3AK^2$. Отсюда $AK = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Свяжем элементы пирамиды. Пусть $l$ — длина бокового ребра, $h_s$ — апофема (высота боковой грани). Выразим $l^2$ и $h_s^2$ через $H$ и $a$. Радиус описанной окружности основания $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, боковым ребром и радиусом $R$: $l^2 = H^2 + R^2 = 12^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{3})^2 = 144 + \frac{a^2}{3}$.
Радиус вписанной окружности основания $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, апофемой и радиусом $r$: $h_s^2 = H^2 + r^2 = 12^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{6})^2 = 144 + \frac{a^2}{12}$.
Площадь боковой грани можно выразить двумя способами: $S_{бок.грани} = \frac{1}{2} l \cdot AK = \frac{1}{2} a \cdot h_s$. Отсюда $l \cdot AK = a \cdot h_s$. Подставим $AK = \frac{a}{\sqrt{3}}$: $l \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} = a \cdot h_s \implies l = h_s\sqrt{3} \implies l^2 = 3h_s^2$.
Теперь подставим выражения для $l^2$ и $h_s^2$: $144 + \frac{a^2}{3} = 3 \cdot (144 + \frac{a^2}{12}) = 432 + \frac{3a^2}{12} = 432 + \frac{a^2}{4}$.
Решим уравнение относительно $a^2$: $\frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{4} = 432 - 144$
$\frac{4a^2 - 3a^2}{12} = 288$
$\frac{a^2}{12} = 288 \implies a^2 = 288 \cdot 12 = 3456$.
Найдём площадь основания: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3456\sqrt{3}}{4} = 864\sqrt{3}$ см².
Вычислим объём пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 864\sqrt{3} \cdot 12 = 4 \cdot 864\sqrt{3} = 3456\sqrt{3}$ см³.
Ответ: $3456\sqrt{3}$ см³.