Страница 41 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 19

Объём тела.

Формулы для вычисления объёма призмы

1. В прямоугольном параллелепипеде одна из сторон основания равна 10 см, а боковое ребро — 12 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите объём параллелепипеда.

2. Основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ является треугольник $ABC$, в котором $AB = BC$, $AC = b$, $\angle BAC = \alpha$. Угол между плоскостью $AB_1C$ и плоскостью основания призмы равен $\beta$. Найдите объём призмы.

3. Основанием наклонного параллелепипеда является квадрат со стороной 8 см. Две противоположащие боковые грани параллелепипеда — также квадраты, а две другие — ромбы с острым углом $30^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

1.

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $ V = S_{осн} \cdot h $, где $ S_{осн} $ — площадь основания, а $ h $ — высота (боковое ребро).

По условию, одна из сторон основания равна $ a = 10 $ см, а боковое ребро $ h = 12 $ см. Нам нужно найти вторую сторону основания, обозначим её $ b $.

Диагональ параллелепипеда $ D $ образует с плоскостью основания угол $ 45^\circ $. Этот угол является углом между самой диагональю $ D $ и её проекцией на плоскость основания. Проекцией диагонали параллелепипеда на основание является диагональ основания $ d $.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда $ D $ (гипотенуза), боковым ребром $ h $ (катет) и диагональю основания $ d $ (второй катет). Угол между $ D $ и $ d $ равен $ 45^\circ $.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$ \tan(45^\circ) = \frac{h}{d} $Поскольку $ \tan(45^\circ) = 1 $, то $ h = d $.Так как $ h = 12 $ см, то и диагональ основания $ d = 12 $ см.

Основанием является прямоугольник со сторонами $ a = 10 $ см и $ b $. Его диагональ $ d $ связана со сторонами по теореме Пифагора:$ d^2 = a^2 + b^2 $Подставим известные значения:$ 12^2 = 10^2 + b^2 $$ 144 = 100 + b^2 $$ b^2 = 144 - 100 = 44 $$ b = \sqrt{44} = \sqrt{4 \cdot 11} = 2\sqrt{11} $ см.

Теперь можем найти площадь основания:$ S_{осн} = a \cdot b = 10 \cdot 2\sqrt{11} = 20\sqrt{11} $ см².

Наконец, вычислим объём параллелепипеда:$ V = S_{осн} \cdot h = 20\sqrt{11} \cdot 12 = 240\sqrt{11} $ см³.

Ответ: $ 240\sqrt{11} $ см³.

2.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $ V = S_{осн} \cdot h $, где $ S_{осн} $ — площадь основания, а $ h $ — высота призмы.

1. Найдём площадь основания.Основанием является равнобедренный треугольник $ ABC $ с $ AB = BC $, $ AC = b $ и $ \angle BAC = \alpha $.Проведём высоту $ BH $ к основанию $ AC $. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой. Следовательно, $ AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{b}{2} $.Рассмотрим прямоугольный треугольник $ ABH $. Из него найдём высоту $ BH $:$ \tan(\angle BAC) = \frac{BH}{AH} \Rightarrow \tan(\alpha) = \frac{BH}{b/2} $$ BH = \frac{b}{2}\tan(\alpha) $Теперь найдём площадь основания (треугольника $ ABC $):$ S_{осн} = \frac{1}{2} AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \left(\frac{b}{2}\tan(\alpha)\right) = \frac{b^2}{4}\tan(\alpha) $

2. Найдём высоту призмы.Призма прямая, поэтому её высота $ h $ равна длине бокового ребра, например, $ BB_1 $.Угол между плоскостью $ AB_1C $ и плоскостью основания $ ABC $ равен $ \beta $. Этот угол является двугранным углом, ребром которого является линия пересечения плоскостей — прямая $ AC $.Для нахождения линейного угла этого двугранного угла мы уже провели перпендикуляр $ BH $ к ребру $ AC $ в плоскости основания. Соединим точки $ B_1 $ и $ H $.Так как призма прямая, $ BB_1 \perp (ABC) $, а значит $ BB_1 \perp BH $. Треугольник $ B_1BH $ — прямоугольный.По теореме о трёх перпендикулярах, так как $ BH $ (проекция наклонной $ B_1H $ на плоскость основания) перпендикулярна $ AC $, то и сама наклонная $ B_1H $ перпендикулярна $ AC $.Следовательно, угол $ \angle B_1HB $ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ AB_1C $ и $ ABC $, то есть $ \angle B_1HB = \beta $.Рассмотрим прямоугольный треугольник $ B_1BH $. Катет $ BB_1 = h $, катет $ BH = \frac{b}{2}\tan(\alpha) $, и угол $ \angle B_1HB = \beta $.Из соотношений в этом треугольнике:$ \tan(\beta) = \frac{BB_1}{BH} = \frac{h}{BH} $$ h = BH \cdot \tan(\beta) = \left(\frac{b}{2}\tan(\alpha)\right) \cdot \tan(\beta) = \frac{b}{2}\tan(\alpha)\tan(\beta) $

3. Вычислим объём призмы.$ V = S_{осн} \cdot h = \left(\frac{b^2}{4}\tan(\alpha)\right) \cdot \left(\frac{b}{2}\tan(\alpha)\tan(\beta)\right) = \frac{b^3}{8}\tan^2(\alpha)\tan(\beta) $

Ответ: $ \frac{b^3}{8}\tan^2(\alpha)\tan(\beta) $.

3.

Объём параллелепипеда вычисляется по формуле $ V = S_{осн} \cdot H $, где $ S_{осн} $ — площадь основания, а $ H $ — высота параллелепипеда.

1. Найдём площадь основания.Основанием является квадрат со стороной $ a = 8 $ см.$ S_{осн} = a^2 = 8^2 = 64 $ см².

2. Найдём высоту параллелепипеда $ H $.Пусть основание параллелепипеда — квадрат $ ABCD $.По условию, две противолежащие боковые грани — квадраты. Так как сторона основания равна 8 см, то и боковое ребро равно 8 см. Пусть грань $ ABB_1A_1 $ — квадрат. Это означает, что боковое ребро $ AA_1 $ перпендикулярно ребру основания $ AB $, то есть $ \angle A_1AB = 90^\circ $.

Другая пара противолежащих боковых граней ($ ADD_1A_1 $ и $ BCC_1B_1 $) — ромбы с острым углом $ 30^\circ $. Рассмотрим грань $ ADD_1A_1 $. Её стороны $ AD $ и $ AA_1 $ равны 8 см, а острый угол $ \angle A_1AD = 30^\circ $.

Высота параллелепипеда $ H $ — это длина перпендикуляра, опущенного из любой точки верхнего основания на плоскость нижнего. Опустим высоту из вершины $ A_1 $ на плоскость основания $ (ABCD) $.

Проведём в грани-ромбе $ ADD_1A_1 $ высоту $ A_1M $ к стороне $ AD $. Длина этой высоты равна:$ A_1M = AA_1 \cdot \sin(\angle A_1AD) = 8 \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 $ см.По построению, $ A_1M \perp AD $.

Теперь докажем, что $ A_1M $ является высотой всего параллелепипеда. Для этого нужно показать, что $ A_1M $ перпендикулярен плоскости основания $ (ABCD) $. Мы уже знаем, что $ A_1M \perp AD $. Нам нужно доказать, что $ A_1M $ перпендикулярен ещё одной прямой в этой плоскости, пересекающей $ AD $, например, прямой $ AB $.

Так как основание $ ABCD $ — квадрат, то $ AB \perp AD $.Так как боковая грань $ ABB_1A_1 $ — квадрат, то $ AB \perp AA_1 $.Поскольку прямая $ AB $ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($ AD $ и $ AA_1 $) в плоскости грани $ (ADD_1A_1) $, то прямая $ AB $ перпендикулярна всей этой плоскости.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Так как $ A_1M $ лежит в плоскости $ (ADD_1A_1) $, то $ AB \perp A_1M $.

Таким образом, мы показали, что $ A_1M \perp AD $ и $ A_1M \perp AB $. Так как $ AD $ и $ AB $ — две пересекающиеся прямые в плоскости основания, то $ A_1M $ перпендикулярен плоскости основания $ (ABCD) $. Следовательно, длина отрезка $ A_1M $ и есть высота параллелепипеда $ H $.

$ H = A_1M = 4 $ см.

3. Вычислим объём параллелепипеда.$ V = S_{осн} \cdot H = 64 \cdot 4 = 256 $ см³.

Ответ: $ 256 $ см³.

Самостоятельная работа № 20

Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды

1. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 16 см, а острый угол — $60^\circ$. Все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $45^\circ$. Найдите объём пирамиды.

2. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с основанием 8 см и боковой стороной 5 см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите объём пирамиды.

3. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол пирамиды при боковом ребре равен $120^\circ$, высота пирамиды равна 12 см. Найдите объём пирамиды.

1.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.
Основанием пирамиды является ромб со стороной $a = 16$ см и острым углом $\alpha = 60°$. Площадь основания (ромба) равна: $S_{осн} = a^2 \sin\alpha = 16^2 \sin(60°) = 256 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 128\sqrt{3}$ см².
Условие равенства всех двугранных углов при рёбрах основания (45°) означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в ромб. Высота пирамиды $H$, радиус вписанной окружности $r$ и двугранный угол $\beta = 45°$ связаны соотношением $H = r \cdot \tan\beta$. Так как $\tan(45°) = 1$, то высота пирамиды равна радиусу вписанной окружности: $H = r$.
Радиус вписанной в ромб окружности можно найти, зная его площадь и высоту $h_{ромба}$. Высота ромба равна диаметру вписанной окружности: $h_{ромба} = 2r$. Формула площади ромба: $S_{осн} = a \cdot h_{ромба} = a \cdot 2r$. Подставим известные значения: $128\sqrt{3} = 16 \cdot 2r = 32r$.
Отсюда находим радиус: $r = \frac{128\sqrt{3}}{32} = 4\sqrt{3}$ см.
Следовательно, высота пирамиды $H = r = 4\sqrt{3}$ см.
Теперь вычислим объём пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 128\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 128 \cdot 4 \cdot 3 = 128 \cdot 4 = 512$ см³.
Ответ: $512$ см³.

2.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$.
В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с основанием $c = 8$ см и боковыми сторонами $a = b = 5$ см. Сначала найдём площадь основания. Проведём высоту $h_c$ к основанию треугольника. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является и медианой, поэтому она делит основание на два отрезка по $8/2 = 4$ см. По теореме Пифагора найдём высоту треугольника: $h_c = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ см.
Площадь основания равна: $S_{осн} = \frac{1}{2} c \cdot h_c = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12$ см².
Так как каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания одинаковый угол $\gamma = 30°$, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания. Высота пирамиды $H$ и радиус описанной окружности $R$ связаны соотношением $H = R \cdot \tan\gamma$.
Радиус описанной около треугольника окружности найдём по формуле $R = \frac{abc}{4S_{осн}}$: $R = \frac{5 \cdot 5 \cdot 8}{4 \cdot 12} = \frac{200}{48} = \frac{25}{6}$ см.
Теперь найдём высоту пирамиды: $H = R \tan(30°) = \frac{25}{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{25}{6\sqrt{3}}$ см.
Наконец, вычислим объём пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot \frac{25}{6\sqrt{3}} = 4 \cdot \frac{25}{6\sqrt{3}} = \frac{100}{6\sqrt{3}} = \frac{50}{3\sqrt{3}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе: $V = \frac{50\sqrt{3}}{3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \frac{50\sqrt{3}}{9}$ см³.
Ответ: $\frac{50\sqrt{3}}{9}$ см³.

3.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$. Высота $H = 12$ см известна. Пирамида правильная треугольная, значит в её основании лежит равносторонний треугольник со стороной $a$. Площадь основания $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Задача сводится к нахождению стороны основания $a$.
Двугранный угол при боковом ребре равен $120°$. Для нахождения его линейного угла проведём перпендикуляры $AK$ и $CK$ к боковому ребру $SB$ в плоскостях граней $ASB$ и $CSB$ соответственно. Тогда $\angle AKC = 120°$.
Треугольник $AKC$ — равнобедренный ($AK=CK$, так как боковые грани равны), $AC=a$. По теореме косинусов для $\triangle AKC$: $AC^2 = AK^2 + CK^2 - 2 \cdot AK \cdot CK \cos(120°)$
$a^2 = AK^2 + AK^2 - 2 \cdot AK^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2AK^2 + AK^2 = 3AK^2$. Отсюда $AK = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Свяжем элементы пирамиды. Пусть $l$ — длина бокового ребра, $h_s$ — апофема (высота боковой грани). Выразим $l^2$ и $h_s^2$ через $H$ и $a$. Радиус описанной окружности основания $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, боковым ребром и радиусом $R$: $l^2 = H^2 + R^2 = 12^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{3})^2 = 144 + \frac{a^2}{3}$.
Радиус вписанной окружности основания $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, апофемой и радиусом $r$: $h_s^2 = H^2 + r^2 = 12^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{6})^2 = 144 + \frac{a^2}{12}$.
Площадь боковой грани можно выразить двумя способами: $S_{бок.грани} = \frac{1}{2} l \cdot AK = \frac{1}{2} a \cdot h_s$. Отсюда $l \cdot AK = a \cdot h_s$. Подставим $AK = \frac{a}{\sqrt{3}}$: $l \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} = a \cdot h_s \implies l = h_s\sqrt{3} \implies l^2 = 3h_s^2$.
Теперь подставим выражения для $l^2$ и $h_s^2$: $144 + \frac{a^2}{3} = 3 \cdot (144 + \frac{a^2}{12}) = 432 + \frac{3a^2}{12} = 432 + \frac{a^2}{4}$.
Решим уравнение относительно $a^2$: $\frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{4} = 432 - 144$
$\frac{4a^2 - 3a^2}{12} = 288$
$\frac{a^2}{12} = 288 \implies a^2 = 288 \cdot 12 = 3456$.
Найдём площадь основания: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3456\sqrt{3}}{4} = 864\sqrt{3}$ см².
Вычислим объём пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 864\sqrt{3} \cdot 12 = 4 \cdot 864\sqrt{3} = 3456\sqrt{3}$ см³.
Ответ: $3456\sqrt{3}$ см³.