Страница 35 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 4

Умножение вектора на число. Гомотетия

1. Найдите модуль вектора $\vec{d} = 4\vec{b} - 3\vec{a}$, если $\vec{a} (5; 2; 1)$, $\vec{b} (4; -1; 2)$.

2. Дан вектор $\vec{d} (-2; -6; 3)$. Найдите координаты вектора $\vec{c}$, сонаправленного с вектором $\vec{d}$, если $|\vec{c}| = 14$.

3. Докажите, что четырёхугольник $DEFC$ с вершинами $D (6; -2; -3)$, $E (5; 1; 1)$, $F (2; 3; -4)$ и $C (5; -6; -16)$ является трапецией.

1.

Для того чтобы найти модуль вектора $\vec{d} = 4\vec{b} - 3\vec{a}$, сначала необходимо вычислить координаты самого вектора $\vec{d}$.

Даны векторы $\vec{a}(5; 2; 1)$ и $\vec{b}(4; -1; 2)$.

1. Найдём координаты вектора $4\vec{b}$ путём умножения каждой координаты вектора $\vec{b}$ на 4:

$4\vec{b} = (4 \cdot 4; 4 \cdot (-1); 4 \cdot 2) = (16; -4; 8)$

2. Найдём координаты вектора $3\vec{a}$ путём умножения каждой координаты вектора $\vec{a}$ на 3:

$3\vec{a} = (3 \cdot 5; 3 \cdot 2; 3 \cdot 1) = (15; 6; 3)$

3. Вычислим координаты вектора $\vec{d}$ как разность векторов $4\vec{b}$ и $3\vec{a}$:

$\vec{d} = 4\vec{b} - 3\vec{a} = (16 - 15; -4 - 6; 8 - 3) = (1; -10; 5)$

4. Теперь найдём модуль (длину) вектора $\vec{d}(1; -10; 5)$ по формуле $|\vec{d}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$:

$|\vec{d}| = \sqrt{1^2 + (-10)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 100 + 25} = \sqrt{126}$

Можно упростить полученное значение: $\sqrt{126} = \sqrt{9 \cdot 14} = 3\sqrt{14}$.

Ответ: $3\sqrt{14}$.

2.

По условию, вектор $\vec{c}$ сонаправлен с вектором $\vec{d}(-2; -6; 3)$. Это означает, что координаты вектора $\vec{c}$ пропорциональны координатам вектора $\vec{d}$ с положительным коэффициентом. То есть, существует такое число $k > 0$, что $\vec{c} = k \cdot \vec{d}$.

Выразим координаты вектора $\vec{c}$ через $k$:

$\vec{c} = (k \cdot (-2); k \cdot (-6); k \cdot 3) = (-2k; -6k; 3k)$

Модуль вектора $\vec{c}$ равен 14. Вычислим модуль вектора $\vec{c}$ через его координаты:

$|\vec{c}| = \sqrt{(-2k)^2 + (-6k)^2 + (3k)^2} = \sqrt{4k^2 + 36k^2 + 9k^2} = \sqrt{49k^2}$

Поскольку $k > 0$, то $\sqrt{49k^2} = 7k$.

Приравниваем полученное выражение к заданному значению модуля:

$7k = 14$

$k = \frac{14}{7} = 2$

Теперь, зная значение $k$, найдём координаты вектора $\vec{c}$:

$\vec{c} = (-2 \cdot 2; -6 \cdot 2; 3 \cdot 2) = (-4; -12; 6)$

Ответ: $(-4; -12; 6)$.

3.

Четырёхугольник является трапецией, если две его противоположные стороны параллельны, а две другие — не параллельны. Чтобы доказать, что четырёхугольник DEFC является трапецией, нужно найти векторы его сторон и проверить их на коллинеарность (параллельность).

Даны координаты вершин: $D(6; -2; -3)$, $E(5; 1; 1)$, $F(2; 3; -4)$ и $C(5; -6; -16)$.

Найдём координаты векторов, соответствующих сторонам четырёхугольника:

$\vec{DE} = (5-6; 1-(-2); 1-(-3)) = (-1; 3; 4)$

$\vec{EF} = (2-5; 3-1; -4-1) = (-3; 2; -5)$

$\vec{FC} = (5-2; -6-3; -16-(-4)) = (3; -9; -12)$

$\vec{CD} = (6-5; -2-(-6); -3-(-16)) = (1; 4; 13)$

Теперь проверим на коллинеарность векторы, соответствующие противоположным сторонам. Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны.

1. Сравним стороны DE и FC (векторы $\vec{DE}$ и $\vec{FC}$):

Для векторов $\vec{DE}(-1; 3; 4)$ и $\vec{FC}(3; -9; -12)$ проверим отношения координат:

$\frac{3}{-1} = -3$; $\frac{-9}{3} = -3$; $\frac{-12}{4} = -3$.

Так как отношения координат равны, векторы коллинеарны ($\vec{FC} = -3\vec{DE}$), а значит, стороны DE и FC параллельны.

2. Сравним стороны EF и CD (векторы $\vec{EF}$ и $\vec{CD}$):

Для векторов $\vec{EF}(-3; 2; -5)$ и $\vec{CD}(1; 4; 13)$ проверим отношения координат:

$\frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$; $\frac{4}{2} = 2$.

Так как $-\frac{1}{3} \neq 2$, отношения координат не равны, следовательно, векторы не коллинеарны, а значит, стороны EF и CD не параллельны.

Поскольку у четырёхугольника DEFC одна пара противоположных сторон (DE и FC) параллельна, а другая пара (EF и CD) не параллельна, то по определению DEFC является трапецией.

Ответ: Доказано, что четырёхугольник DEFC является трапецией.

Самостоятельная работа № 5

Умножение вектора на число. Гомотетия

1. Найдите координаты образа точки $M (21; -5; 20)$ при гомотетии с центром в точке $N (13; -1; -4)$ и коэффициентом гомотетии $k = \frac{3}{4}$.

2. Высота пирамиды равна 14 см. Через точку $K$, принадлежащую высоте пирамиды, проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Площади оснований образовавшейся при этом усечённой пирамиды равны $80 \text{ см}^2$ и $245 \text{ см}^2$. Найдите расстояние от точки $K$ до основания данной пирамиды.

3. Дан тетраэдр $DABC$. Медианы грани $BCD$ пересекаются в точке $O$. Точка $P$ — середина ребра $AD$. Выразите вектор $\vec{OP}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$.

1. Пусть M' (x'; y'; z') — образ точки M (21; –5; 20) при гомотетии с центром в точке N (13; –1; –4) и коэффициентом $k = \frac{3}{4}$. По определению гомотетии, вектор $\vec{NM'}$ связан с вектором $\vec{NM}$ соотношением: $\vec{NM'} = k \cdot \vec{NM}$. Сначала найдем координаты вектора $\vec{NM}$: $\vec{NM} = (x_M - x_N; y_M - y_N; z_M - z_N) = (21 - 13; -5 - (-1); 20 - (-4)) = (8; -4; 24)$. Теперь найдем координаты вектора $\vec{NM'}$: $\vec{NM'} = \frac{3}{4} \cdot \vec{NM} = \frac{3}{4} \cdot (8; -4; 24) = (\frac{3}{4} \cdot 8; \frac{3}{4} \cdot (-4); \frac{3}{4} \cdot 24) = (6; -3; 18)$. Координаты вектора $\vec{NM'}$ также можно выразить через координаты точек N и M': $\vec{NM'} = (x' - x_N; y' - y_N; z' - z_N) = (x' - 13; y' - (-1); z' - (-4)) = (x' - 13; y' + 1; z' + 4)$. Приравнивая полученные выражения для координат вектора $\vec{NM'}$, получаем систему уравнений: $x' - 13 = 6 \implies x' = 19$ $y' + 1 = -3 \implies y' = -4$ $z' + 4 = 18 \implies z' = 14$ Таким образом, координаты образа точки M' равны (19; –4; 14).

Ответ: (19; –4; 14).

2. Пусть H — высота исходной пирамиды, S₁ — площадь ее основания. По условию, H = 14 см. Плоскость, параллельная основанию, отсекает от исходной пирамиды подобную ей меньшую пирамиду. Образуется усеченная пирамида, площади оснований которой равны $S_1 = 245$ см² (основание исходной пирамиды) и $S_2 = 80$ см² (сечение, основание меньшей пирамиды). Пусть h — высота меньшей пирамиды, отсекаемой плоскостью. Отношение площадей оснований подобных пирамид равно квадрату отношения их высот: $\frac{S_2}{S_1} = (\frac{h}{H})^2$ Подставим известные значения: $\frac{80}{245} = (\frac{h}{14})^2$ Сократим дробь в левой части: $\frac{80}{245} = \frac{16 \cdot 5}{49 \cdot 5} = \frac{16}{49}$. Получаем уравнение: $\frac{16}{49} = (\frac{h}{14})^2$ Извлекая квадратный корень из обеих частей (высота — величина положительная), находим: $\frac{4}{7} = \frac{h}{14}$ Отсюда находим высоту h: $h = \frac{4}{7} \cdot 14 = 8$ см. Точка K лежит на высоте исходной пирамиды и принадлежит секущей плоскости. Расстояние от вершины исходной пирамиды до точки K равно высоте меньшей пирамиды, то есть h = 8 см. Искомое расстояние от точки K до основания данной пирамиды равно разности высоты всей пирамиды H и высоты меньшей пирамиды h: $d = H - h = 14 - 8 = 6$ см.

Ответ: 6 см.

3. Для решения задачи введем систему координат с началом в точке A. Тогда положение любой точки X в пространстве можно задать радиус-вектором $\vec{AX}$. Векторы, через которые нужно выразить $\vec{OP}$, это $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$. Точка O является точкой пересечения медиан (центроидом) грани BCD. Ее радиус-вектор относительно точки А равен среднему арифметическому радиус-векторов вершин этой грани: $\vec{AO} = \frac{\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}}{3}$ Точка P — середина ребра AD. Ее радиус-вектор относительно точки А равен полусумме радиус-векторов точек A и D: $\vec{AP} = \frac{\vec{AA} + \vec{AD}}{2} = \frac{\vec{0} + \vec{AD}}{2} = \frac{1}{2}\vec{AD}$ Теперь выразим искомый вектор $\vec{OP}$ как разность радиус-векторов его конца и начала: $\vec{OP} = \vec{AP} - \vec{AO}$ Подставим найденные выражения для $\vec{AP}$ и $\vec{AO}$: $\vec{OP} = \frac{1}{2}\vec{AD} - \frac{\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}}{3}$ Приведем к общему знаменателю и упростим выражение: $\vec{OP} = \frac{3\vec{AD}}{6} - \frac{2(\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD})}{6}$ $\vec{OP} = \frac{3\vec{AD} - 2\vec{AB} - 2\vec{AC} - 2\vec{AD}}{6}$ $\vec{OP} = \frac{-2\vec{AB} - 2\vec{AC} + (3-2)\vec{AD}}{6}$ $\vec{OP} = \frac{-2\vec{AB} - 2\vec{AC} + \vec{AD}}{6}$ $\vec{OP} = -\frac{1}{3}\vec{AB} - \frac{1}{3}\vec{AC} + \frac{1}{6}\vec{AD}$

Ответ: $\vec{OP} = -\frac{1}{3}\vec{AB} - \frac{1}{3}\vec{AC} + \frac{1}{6}\vec{AD}$.

Самостоятельная работа № 6

Скалярное произведение векторов

1. Найдите косинус угла между векторами $ \vec{a} (-2; 3; 6) $ и $ \vec{b} (4; 1; – 2). $

2. Даны векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, $ |\vec{a}| = 4 $, $ |\vec{b}| = 3 $, $ \angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ $. Найдите:

1) $ (3\vec{b} - 2\vec{a}) \cdot \vec{b} $

2) $ |3\vec{b} - 2\vec{a}| $

3. Дана прямая призма $ ABCDA_1B_1C_1D_1 $. Известно, что $ AB = AC = AA_1 $, $ \angle BAC = 90^\circ $. Найдите угол между прямыми $ B_1C $ и $ AB $.

1. Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле:
$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$
Для векторов $\vec{a}(-2; 3; 6)$ и $\vec{b}(4; 1; -2)$ найдем сначала их скалярное произведение:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-2) \cdot 4 + 3 \cdot 1 + 6 \cdot (-2) = -8 + 3 - 12 = -17$.
Теперь найдем модули (длины) векторов:
$|\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21}$.
Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:
$\cos(\alpha) = \frac{-17}{7 \cdot \sqrt{21}} = -\frac{17}{7\sqrt{21}}$.
Ответ: $-\frac{17}{7\sqrt{21}}$.

2. Дано: $|\vec{a}|=4$, $|\vec{b}|=3$, угол между векторами $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ$.
Вначале вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, так как оно потребуется в обоих пунктах:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) = 4 \cdot 3 \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$.
Также полезно знать скалярные квадраты векторов: $|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = 4^2 = 16$ и $|\vec{b}|^2 = \vec{b} \cdot \vec{b} = 3^2 = 9$.

1) Найдем значение выражения $(3\vec{b} - 2\vec{a}) \cdot \vec{b}$.
Используя дистрибутивное свойство скалярного произведения, раскроем скобки:
$(3\vec{b} - 2\vec{a}) \cdot \vec{b} = 3(\vec{b} \cdot \vec{b}) - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3|\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$.
Подставим известные значения:
$3 \cdot 9 - 2 \cdot 6 = 27 - 12 = 15$.
Ответ: 15.

2) Найдем модуль вектора $|3\vec{b} - 2\vec{a}|$.
Модуль вектора равен квадратному корню из его скалярного квадрата. Найдем сначала квадрат модуля:
$|3\vec{b} - 2\vec{a}|^2 = (3\vec{b} - 2\vec{a}) \cdot (3\vec{b} - 2\vec{a})$.
Раскроем скобки:
$(3\vec{b} - 2\vec{a}) \cdot (3\vec{b} - 2\vec{a}) = 9(\vec{b} \cdot \vec{b}) - 6(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4(\vec{a} \cdot \vec{a})$.
Так как скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$), выражение можно упростить:
$9|\vec{b}|^2 - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{a}|^2$.
Подставим известные значения:
$9 \cdot 9 - 12 \cdot 6 + 4 \cdot 16 = 81 - 72 + 64 = 9 + 64 = 73$.
Мы нашли, что $|3\vec{b} - 2\vec{a}|^2 = 73$. Следовательно, сам модуль равен:
$|3\vec{b} - 2\vec{a}| = \sqrt{73}$.
Ответ: $\sqrt{73}$.

3. Угол между скрещивающимися прямыми находится как угол между их направляющими векторами. Для нахождения векторов введем прямоугольную систему координат.
Поместим начало координат в точку $A(0; 0; 0)$. Так как призма прямая и $\angle BAC = 90^\circ$, направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AC$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.
Пусть $AB = AC = AA_1 = a$. Тогда координаты вершин, необходимых для решения, будут:
$A(0; 0; 0)$
$B(a; 0; 0)$
$C(0; a; 0)$
$A_1(0; 0; a)$
Координаты точки $B_1$ получаются сдвигом точки $B$ на вектор $\vec{AA_1}(0;0;a)$, таким образом $B_1(a; 0; a)$.
Направляющим вектором для прямой $AB$ является вектор $\vec{AB}$:
$\vec{u} = \vec{AB} = (a-0; 0-0; 0-0) = (a; 0; 0)$.
Направляющим вектором для прямой $B_1C$ является вектор $\vec{B_1C}$:
$\vec{v} = \vec{B_1C} = (0-a; a-0; 0-a) = (-a; a; -a)$.
Косинус угла $\phi$ между прямыми вычисляется по формуле:
$\cos(\phi) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = a \cdot (-a) + 0 \cdot a + 0 \cdot (-a) = -a^2$.
Найдем модули векторов:
$|\vec{u}| = |\vec{AB}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + 0^2} = a$.
$|\vec{v}| = |\vec{B_1C}| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + (-a)^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.
Теперь вычислим косинус угла:
$\cos(\phi) = \frac{|-a^2|}{a \cdot (a\sqrt{3})} = \frac{a^2}{a^2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Следовательно, искомый угол $\phi$ равен $\arccos(\frac{1}{\sqrt{3}})$.
Ответ: $\arccos(\frac{1}{\sqrt{3}})$.