Страница 31 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 19

Объём тела.

Формулы для вычисления объёма призмы

1. Меньшая сторона основания прямоугольного параллелепипеда равна 6 см, а угол между диагоналями основания равен $60^\circ$. Найдите объём параллелепипеда, если его диагональ образует с плоскостью основания угол $30^\circ$.

2. Основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ является треугольник $ABC$, в котором $AB = BC = a$, $\angle BAC = \alpha$. Угол между плоскостью $AB_1C$ и плоскостью основания призмы равен $\gamma$. Найдите объём призмы.

3. Основанием наклонного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами 4 см и 3 см. Две противоположные боковые грани параллелепипеда — квадраты со стороной 4 см, а острый угол двух других граней равен $30^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

1. Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота.
Основанием является прямоугольник. Пусть его стороны равны $a$ и $b$. По условию, меньшая сторона $a = 6$ см. Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. Угол между диагоналями равен $60^\circ$. Треугольник, образованный половинами диагоналей и меньшей стороной, является равнобедренным с углом $60^\circ$ при вершине, а значит, он равносторонний. Следовательно, половина диагонали основания равна меньшей стороне.
$\frac{d_{осн}}{2} = a = 6$ см.
Отсюда диагональ основания $d_{осн} = 2 \cdot 6 = 12$ см.
Найдем вторую сторону основания $b$ по теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = d_{осн}^2$.
$6^2 + b^2 = 12^2$
$36 + b^2 = 144$
$b^2 = 108 \implies b = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$ см.
Площадь основания: $S_{осн} = a \cdot b = 6 \cdot 6\sqrt{3} = 36\sqrt{3}$ см$^2$.
Диагональ параллелепипеда, его высота $h$ и диагональ основания $d_{осн}$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания равен $30^\circ$. В этом треугольнике высота $h$ является катетом, противолежащим углу $30^\circ$, а диагональ основания $d_{осн}$ — прилежащим катетом.
$\tan(30^\circ) = \frac{h}{d_{осн}}$
$h = d_{осн} \cdot \tan(30^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.
Теперь найдем объем параллелепипеда:
$V = S_{осн} \cdot h = 36\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 144 \cdot 3 = 432$ см$^3$.
Ответ: $432 \text{ см}^3$.

2. Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$.
Основание призмы — равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = BC = a$ и $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$. Угол при вершине $\angle ABC = 180^\circ - 2\alpha$.
Найдем площадь основания:
$S_{осн} = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \sin(180^\circ - 2\alpha) = \frac{1}{2}a^2 \sin(2\alpha)$.
Угол $\gamma$ между плоскостью $AB_1C$ и плоскостью основания $ABC$ — это двугранный угол при ребре $AC$. Для его измерения проведем высоту $BH$ в треугольнике $ABC$. Так как призма прямая ($BB_1 \perp$ пл. $ABC$), то по теореме о трех перпендикулярах $B_1H \perp AC$. Таким образом, $\angle B_1HB = \gamma$ является линейным углом этого двугранного угла.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. В нем $BH = AB \cdot \sin(\angle BAC) = a \sin(\alpha)$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $B_1BH$ (так как призма прямая, $\angle B_1BH = 90^\circ$). Высота призмы $h = BB_1$.
$\tan(\gamma) = \frac{BB_1}{BH} \implies h = BB_1 = BH \cdot \tan(\gamma) = a \sin(\alpha) \tan(\gamma)$.
Теперь найдем объем призмы:
$V = S_{осн} \cdot h = \left(\frac{1}{2}a^2 \sin(2\alpha)\right) \cdot (a \sin(\alpha) \tan(\gamma))$.
Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$, получаем:
$V = \frac{1}{2}a^2 (2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)) \cdot a \sin(\alpha) \tan(\gamma) = a^3 \sin^2(\alpha) \cos(\alpha) \tan(\gamma)$.
Ответ: $a^3 \sin^2(\alpha) \cos(\alpha) \tan(\gamma)$.

3. Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $H$ — высота параллелепипеда.
Основанием является прямоугольник со сторонами 4 см и 3 см. Его площадь:
$S_{осн} = 4 \cdot 3 = 12$ см$^2$.
Пусть основание — $ABCD$, где $AB=4$ см, $AD=3$ см. Боковая грань $ABB_1A_1$ является квадратом со стороной 4 см. Это означает, что длина бокового ребра $AA_1 = 4$ см, и оно перпендикулярно ребру основания $AB$ ($\angle A_1AB = 90^\circ$).
Другая боковая грань $ADD_1A_1$ является параллелограммом со сторонами $AD=3$ см и $AA_1=4$ см. Острый угол этой грани равен $30^\circ$, то есть $\angle A_1AD = 30^\circ$.
Найдем высоту параллелепипеда $H$. Проведем высоту из вершины $A_1$ на плоскость основания $ABCD$. Обозначим ее $A_1K$.
Так как $AB \perp AD$ (основание — прямоугольник) и $AB \perp AA_1$ (боковая грань — квадрат), то ребро $AB$ перпендикулярно плоскости грани $ADD_1A_1$.
Проведем в плоскости $ADD_1A_1$ перпендикуляр $A_1K$ к ребру $AD$. Тогда $A_1K \perp AD$.
Поскольку $A_1K$ лежит в плоскости $ADD_1A_1$, а ребро $AB$ перпендикулярно этой плоскости, то $A_1K \perp AB$.
Так как $A_1K$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AD$ и $AB$) в плоскости основания, то $A_1K$ является высотой параллелепипеда, $H = A_1K$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный ребром $AA_1$, его проекцией на прямую $AD$ и высотой $A_1K$. В этом треугольнике $AA_1$ — гипотенуза, а $H=A_1K$ — катет, противолежащий углу $\angle A_1AD = 30^\circ$.
$H = A_1K = AA_1 \cdot \sin(\angle A_1AD) = 4 \cdot \sin(30^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ см.
Теперь вычислим объем параллелепипеда:
$V = S_{осн} \cdot H = 12 \cdot 2 = 24$ см$^3$.
Ответ: $24 \text{ см}^3$.

Самостоятельная работа № 20

Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды

1. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна $20$ см, а острый угол — $45^\circ$. Все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $30^\circ$. Найдите объём пирамиды.

2. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной $12$ см и углом $30^\circ$ при основании. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите объём пирамиды.

3. В правильной четырёхугольной пирамиде двугранный угол пирамиды при боковом ребре равен $120^\circ$, высота пирамиды равна $6$ см. Найдите объём пирамиды.

1.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдём площадь основания.
Основанием является ромб со стороной $a = 20$ см и острым углом $\alpha = 45^{\circ}$. Площадь ромба вычисляется по формуле $S_{осн} = a^2 \sin \alpha$.
$S_{осн} = 20^2 \sin 45^{\circ} = 400 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 200\sqrt{2}$ см².

2. Найдём высоту пирамиды.
По условию, все двугранные углы при рёбрах основания равны $30^{\circ}$. Это означает, что вершина пирамиды проектируется в центр вписанной в основание окружности (инцентр). Для ромба инцентр — это точка пересечения его диагоналей.
Пусть $S$ — вершина пирамиды, $SO = H$ — её высота. Пусть $OK$ — перпендикуляр, опущенный из центра ромба $O$ на сторону ромба. Тогда $OK = r$ — радиус вписанной окружности. $SK$ — апофема боковой грани. Угол $\angle SKO = 30^{\circ}$ является линейным углом двугранного угла при ребре основания.
Из прямоугольного треугольника $SOK$ находим высоту пирамиды: $H = SO = OK \cdot \tan(\angle SKO) = r \cdot \tan 30^{\circ}$.
Радиус вписанной в ромб окружности равен половине его высоты: $r = \frac{h_{ромба}}{2}$. Высота ромба $h_{ромба} = a \sin \alpha = 20 \sin 45^{\circ} = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}$ см.
Тогда $r = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ см.
Теперь найдём высоту пирамиды: $H = 5\sqrt{2} \cdot \tan 30^{\circ} = 5\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{6}}{3}$ см.

3. Найдём объём пирамиды.
$V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 200\sqrt{2} \cdot \frac{5\sqrt{6}}{3} = \frac{1000\sqrt{12}}{9} = \frac{1000 \cdot 2\sqrt{3}}{9} = \frac{2000\sqrt{3}}{9}$ см³.

Ответ: $V = \frac{2000\sqrt{3}}{9}$ см³.

2.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} H$.

1. Найдём площадь основания.
Основанием является равнобедренный треугольник с боковой стороной $b = 12$ см и углом при основании $\alpha = 30^{\circ}$. Угол при вершине, противолежащей основанию, равен $180^{\circ} - 2 \cdot 30^{\circ} = 120^{\circ}$.
Площадь треугольника найдём по формуле $S = \frac{1}{2}b^2 \sin \gamma$, где $\gamma$ — угол между боковыми сторонами.
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 12^2 \cdot \sin 120^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot 144 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 36\sqrt{3}$ см².

2. Найдём высоту пирамиды.
По условию, каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол $60^{\circ}$. Это означает, что вершина пирамиды проектируется в центр описанной около основания окружности (циркумцентр).
Пусть $S$ — вершина пирамиды, $SO = H$ — её высота, $O$ — центр описанной окружности. $R$ — радиус описанной окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, его проекцией на основание (радиусом $R$) и высотой пирамиды $H$.
Из этого треугольника $H = R \cdot \tan 60^{\circ}$.
Найдём радиус описанной окружности $R$ по теореме синусов: $2R = \frac{b}{\sin \alpha}$.
$2R = \frac{12}{\sin 30^{\circ}} = \frac{12}{1/2} = 24$.
$R = 12$ см.
Теперь найдём высоту пирамиды: $H = 12 \cdot \tan 60^{\circ} = 12\sqrt{3}$ см.

3. Найдём объём пирамиды.
$V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 36\sqrt{3} \cdot 12\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \cdot 12\sqrt{3} = 144 \cdot 3 = 432$ см³.

Ответ: $V = 432$ см³.

3.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} H$. Высота $H = 6$ см дана. Нам нужно найти площадь основания $S_{осн}$.

1. Найдём сторону основания.
Пирамида правильная четырёхугольная, значит, в основании лежит квадрат. Пусть сторона квадрата равна $a$. Тогда $S_{осн} = a^2$.
Пусть $SABCD$ — пирамида с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. $SO=H=6$ — высота. Диагональ основания $AC = a\sqrt{2}$, её половина $AO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Двугранный угол при боковом ребре (например, $SB$) — это угол между плоскостями боковых граней $(SAB)$ и $(SCB)$. Этот угол равен $\gamma = 120^{\circ}$.
Для измерения этого угла построим плоскость, перпендикулярную ребру $SB$. Проведём в этой плоскости отрезки $AK \perp SB$ и $CK \perp SB$ ($K \in SB$). Тогда $\angle AKC = 120^{\circ}$.
Треугольник $AKC$ — равнобедренный ($AK=CK$), $KO$ — его медиана и высота. Значит, $KO \perp AC$.
Поскольку $SO \perp (ABC)$, то $SO \perp AC$. Так как и $KO \perp AC$, и $SO \perp AC$, то плоскость $(SOK)$ перпендикулярна $AC$. Но плоскость $(SBD)$ также перпендикулярна $AC$. Значит, точка $K$ лежит в плоскости $(SBD)$, и $KO$ — это перпендикуляр, опущенный из точки $O$ на ребро $SB$ в плоскости $(SBD)$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOK$. $\angle AOK = 90^{\circ}$. $\angle AKO = \frac{1}{2}\angle AKC = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ}$.
Из $\triangle AOK$ находим $KO$: $KO = \frac{AO}{\tan 60^{\circ}} = \frac{a\sqrt{2}/2}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{6}$.
С другой стороны, рассмотрим прямоугольный треугольник $SOB$. $SO=H=6$, $OB=AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. $KO$ — это высота, проведённая к гипотенузе $SB$.
Выразим $KO$ через катеты $SO$ и $OB$: Гипотенуза $SB = \sqrt{SO^2 + OB^2} = \sqrt{6^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{36 + \frac{a^2}{2}}$.
Площадь $\triangle SOB$ равна $\frac{1}{2} SO \cdot OB = \frac{1}{2} SB \cdot KO$. Отсюда $KO = \frac{SO \cdot OB}{SB} = \frac{6 \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{36 + \frac{a^2}{2}}} = \frac{3a\sqrt{2}}{\sqrt{36 + \frac{a^2}{2}}}$.
Приравняем два выражения для $KO$:
$\frac{a\sqrt{6}}{6} = \frac{3a\sqrt{2}}{\sqrt{36 + \frac{a^2}{2}}}$. Сократим на $a$ (т.к. $a \neq 0$):
$\frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{36 + \frac{a^2}{2}}} \Rightarrow \sqrt{6}\sqrt{36 + \frac{a^2}{2}} = 18\sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{3}\sqrt{36 + \frac{a^2}{2}} = 18 \Rightarrow \sqrt{36 + \frac{a^2}{2}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}$.
Возведём обе части в квадрат: $36 + \frac{a^2}{2} = (6\sqrt{3})^2 = 36 \cdot 3 = 108$.
$\frac{a^2}{2} = 108 - 36 = 72$.
$a^2 = 144$.
Площадь основания $S_{осн} = a^2 = 144$ см².

2. Найдём объём пирамиды.
$V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 6 = 144 \cdot 2 = 288$ см³.

Ответ: $V = 288$ см³.