Страница 24 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Вариант 3

Самостоятельная работа № 1

Декартовы координаты точки в пространстве

1. Точка $P$ принадлежит отрезку $AB$. Известно, что $A (-1; 2; 1)$, $P (2; -1; -2)$. Найдите координаты точки $B$, если:

1) $AP = PB$;

2) $AP : PB = 3 : 5$.

2. Найдите точку, принадлежащую оси аппликат и равноудалённую от точек $A (4; 1; -2)$ и $B (1; 0; 3)$.

3. Основанием прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадрат $ABCD$. Известно, что $AB = 8$ см, $AA_1 = 4$ см. Найдите расстояние от точки $B_1$ до центроида тетраэдра $AD_1DC$.

1) AP = PB;

Если $AP = PB$, это означает, что точка $P$ является серединой отрезка $AB$. Координаты середины отрезка вычисляются по формулам:

$x_P = \frac{x_A + x_B}{2}$, $y_P = \frac{y_A + y_B}{2}$, $z_P = \frac{z_A + z_B}{2}$

Чтобы найти координаты точки $B$, выразим их из этих формул:

$x_B = 2x_P - x_A$

$y_B = 2y_P - y_A$

$z_B = 2z_P - z_A$

Подставим известные координаты точек $A(-1; 2; 1)$ и $P(2; -1; -2)$:

$x_B = 2 \cdot 2 - (-1) = 4 + 1 = 5$

$y_B = 2 \cdot (-1) - 2 = -2 - 2 = -4$

$z_B = 2 \cdot (-2) - 1 = -4 - 1 = -5$

Координаты точки $B$ равны $(5; -4; -5)$.

Ответ: $B(5; -4; -5)$.

2) AP : PB = 3 : 5.

Точка $P$ делит отрезок $AB$ в отношении $3:5$. Координаты точки, делящей отрезок в отношении $m:n$, находятся по формулам:

$x_P = \frac{nx_A + mx_B}{m+n}$, $y_P = \frac{ny_A + my_B}{m+n}$, $z_P = \frac{nz_A + mz_B}{m+n}$

Выразим координаты точки $B(x_B; y_B; z_B)$ при $m=3$ и $n=5$:

$x_B = \frac{(m+n)x_P - nx_A}{m}$

$y_B = \frac{(m+n)y_P - ny_A}{m}$

$z_B = \frac{(m+n)z_P - nz_A}{m}$

Подставим известные значения $A(-1; 2; 1)$, $P(2; -1; -2)$:

$x_B = \frac{(3+5) \cdot 2 - 5 \cdot (-1)}{3} = \frac{16 + 5}{3} = \frac{21}{3} = 7$

$y_B = \frac{(3+5) \cdot (-1) - 5 \cdot 2}{3} = \frac{-8 - 10}{3} = \frac{-18}{3} = -6$

$z_B = \frac{(3+5) \cdot (-2) - 5 \cdot 1}{3} = \frac{-16 - 5}{3} = \frac{-21}{3} = -7$

Координаты точки $B$ равны $(7; -6; -7)$.

Ответ: $B(7; -6; -7)$.

2.

Искомая точка $M$ принадлежит оси аппликат (оси $Oz$), поэтому её координаты имеют вид $(0; 0; z)$.

Точка $M$ равноудалена от точек $A(4; 1; -2)$ и $B(1; 0; 3)$, следовательно, расстояние $MA$ равно расстоянию $MB$, то есть $MA = MB$. Это также означает, что квадраты расстояний равны: $MA^2 = MB^2$.

Используем формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$: $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$.

Вычислим квадраты расстояний $MA^2$ и $MB^2$:

$MA^2 = (4-0)^2 + (1-0)^2 + (-2-z)^2 = 16 + 1 + (z+2)^2 = 17 + z^2 + 4z + 4 = z^2 + 4z + 21$

$MB^2 = (1-0)^2 + (0-0)^2 + (3-z)^2 = 1 + 0 + 9 - 6z + z^2 = z^2 - 6z + 10$

Приравняем полученные выражения:

$z^2 + 4z + 21 = z^2 - 6z + 10$

$4z + 6z = 10 - 21$

$10z = -11$

$z = -1.1$

Следовательно, искомая точка имеет координаты $(0; 0; -1.1)$.

Ответ: $(0; 0; -1.1)$.

3.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим начало координат в точку $A(0; 0; 0)$. Направим ось $Ox$ по ребру $AB$, ось $Oy$ по ребру $AD$, и ось $Oz$ по ребру $AA_1$.

Поскольку основание $ABCD$ — квадрат со стороной $AB=8$ см, а высота $AA_1=4$ см, координаты вершин параллелепипеда будут следующими:

$A(0; 0; 0)$, $B(8; 0; 0)$, $D(0; 8; 0)$, $C(8; 8; 0)$, $A_1(0; 0; 4)$, $B_1(8; 0; 4)$, $D_1(0; 8; 4)$.

Найдём координаты центроида $G$ тетраэдра $AD_1DC$. Координаты центроида — это среднее арифметическое координат его вершин. Вершины тетраэдра: $A(0; 0; 0)$, $D_1(0; 8; 4)$, $D(0; 8; 0)$, $C(8; 8; 0)$.

$x_G = \frac{x_A + x_{D_1} + x_D + x_C}{4} = \frac{0 + 0 + 0 + 8}{4} = 2$

$y_G = \frac{y_A + y_{D_1} + y_D + y_C}{4} = \frac{0 + 8 + 8 + 8}{4} = \frac{24}{4} = 6$

$z_G = \frac{z_A + z_{D_1} + z_D + z_C}{4} = \frac{0 + 4 + 0 + 0}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Координаты центроида $G$ равны $(2; 6; 1)$.

Теперь вычислим расстояние от точки $B_1(8; 0; 4)$ до центроида $G(2; 6; 1)$ по формуле расстояния между точками в пространстве:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

$B_1G = \sqrt{(2 - 8)^2 + (6 - 0)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 36 + 9} = \sqrt{81} = 9$.

Ответ: 9 см.

Самостоятельная работа № 2

Векторы в пространстве

1. Найдите точку $A_1$, являющуюся образом точки A $(1; -4; 7)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{c} (-6; 3; 2)$. Найдите модуль вектора $\vec{AA_1}$.

2. Даны координаты трёх вершин параллелограмма $ABCD$: A $(4; -5; -2)$, B $(2; 3; -8)$ и D $(-3; -4; 6)$. Используя векторы, найдите координаты вершины C.

3. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На отрезке $BD$ отметили точку $F$. Докажите, что векторы $\vec{C_1D}$, $\vec{AD_1}$ и $\vec{C_1F}$ являются компланарными.

1. Чтобы найти координаты точки $A_1$, являющейся образом точки $A(1; -4; 7)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{c}(-6; 3; 2)$, нужно к координатам точки $A$ прибавить соответствующие координаты вектора $\vec{c}$.
Пусть $A_1$ имеет координаты $(x_1; y_1; z_1)$.
$x_1 = 1 + (-6) = -5$
$y_1 = -4 + 3 = -1$
$z_1 = 7 + 2 = 9$
Таким образом, координаты точки $A_1$ равны $(-5; -1; 9)$.
Вектор $\vec{AA_1}$ по определению параллельного переноса равен вектору переноса $\vec{c}$. Следовательно, $\vec{AA_1} = \vec{c}(-6; 3; 2)$.
Модуль (длина) вектора вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
Найдем модуль вектора $\vec{AA_1}$:
$|\vec{AA_1}| = |\vec{c}| = \sqrt{(-6)^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$.
Ответ: $A_1(-5; -1; 9)$, $|\vec{AA_1}| = 7$.

2. В параллелограмме $ABCD$ векторы, образованные противоположными сторонами, равны. Например, $\vec{AB} = \vec{DC}$.
Найдем координаты вектора $\vec{AB}$, зная координаты точек $A(4; -5; -2)$ и $B(2; 3; -8)$:
$\vec{AB} = (2-4; 3-(-5); -8-(-2)) = (-2; 8; -6)$.
Пусть искомая вершина $C$ имеет координаты $(x; y; z)$. Тогда вектор $\vec{DC}$ имеет координаты, вычисляемые из координат точек $D(-3; -4; 6)$ и $C(x; y; z)$:
$\vec{DC} = (x - (-3); y - (-4); z - 6) = (x+3; y+4; z-6)$.
Приравняем соответствующие координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$:
$x+3 = -2 \implies x = -5$
$y+4 = 8 \implies y = 4$
$z-6 = -6 \implies z = 0$
Следовательно, координаты вершины $C$ равны $(-5; 4; 0)$.
Ответ: $C(-5; 4; 0)$.

3. Три вектора являются компланарными, если один из них можно выразить как линейную комбинацию двух других. Докажем, что вектор $\vec{C_1F}$ можно представить в виде линейной комбинации векторов $\vec{C_1D}$ и $\vec{AD_1}$.
Введем базис, связанный с вершиной $A$ параллелепипеда: $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$, $\vec{AA_1} = \vec{c}$.
Выразим векторы $\vec{C_1D}$ и $\vec{AD_1}$ через базисные векторы:
$\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{DD_1} = \vec{b} + \vec{c}$.
$\vec{C_1D} = \vec{C_1C} + \vec{CD} = -\vec{CC_1} + \vec{BA} = -\vec{c} - \vec{a}$.
Точка $F$ лежит на отрезке $BD$. Это означает, что вектор $\vec{BF}$ коллинеарен вектору $\vec{BD}$, то есть существует такое число $k \in [0, 1]$, что $\vec{BF} = k \cdot \vec{BD}$.
$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$.
$\vec{BF} = k(\vec{b} - \vec{a})$.
Теперь выразим вектор $\vec{C_1F}$ через базис:
$\vec{C_1F} = \vec{C_1B_1} + \vec{B_1B} + \vec{BF}$
$\vec{C_1B_1} = \vec{DA} = -\vec{AD} = -\vec{b}$.
$\vec{B_1B} = -\vec{BB_1} = -\vec{AA_1} = -\vec{c}$.
$\vec{C_1F} = -\vec{b} - \vec{c} + k(\vec{b} - \vec{a}) = -k\vec{a} + (k-1)\vec{b} - \vec{c}$.
Проверим, существуют ли такие числа $m$ и $n$, что $\vec{C_1F} = m\vec{C_1D} + n\vec{AD_1}$:
$-k\vec{a} + (k-1)\vec{b} - \vec{c} = m(-\vec{a} - \vec{c}) + n(\vec{b} + \vec{c})$
$-k\vec{a} + (k-1)\vec{b} - \vec{c} = -m\vec{a} + n\vec{b} + (n-m)\vec{c}$
Поскольку векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ некомпланарны (образуют базис), мы можем приравнять коэффициенты при них:
$\begin{cases} -k = -m \\ k-1 = n \\ -1 = n-m \end{cases}$
Из первого уравнения получаем $m=k$. Подставляем это и второе уравнение в третье:
$-1 = (k-1) - k$
$-1 = k - 1 - k$
$-1 = -1$
Полученное тождество означает, что система имеет решение для любого $k \in [0, 1]$. В частности, $m=k$ и $n=k-1$.
Таким образом, $\vec{C_1F} = k\vec{C_1D} + (k-1)\vec{AD_1}$. Так как один из векторов является линейной комбинацией двух других, то векторы $\vec{C_1D}$, $\vec{AD_1}$ и $\vec{C_1F}$ являются компланарными, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что векторы являются компланарными.

Самостоятельная работа № 3

Сложение и вычитание векторов

1. Даны векторы $ \vec{c} (-3; 1; 2) $ и $ \vec{d} (5; -6; 7) $. Найдите:

1) координаты вектора $ \vec{c} + \vec{d} $;

2) координаты вектора $ \vec{c} - \vec{d} $;

3) $ |\vec{c} - \vec{d}| $.

2. Упростите выражение $ \vec{BC} - \vec{AE} + \vec{AD} - \vec{PC} - \vec{BD} $.

3. Дан параллелепипед $ ABCD A_1 B_1 C_1 D_1 $. Выразите вектор $ \vec{A_1C_1} $ через векторы $ \vec{AD} $, $ \vec{AA_1} $ и $ \vec{AB_1} $.

1.

1) координаты вектора $\vec{c} + \vec{d}$;

Чтобы найти координаты суммы двух векторов, необходимо сложить их соответствующие координаты.
Даны векторы $\vec{c}(-3; 1; 2)$ и $\vec{d}(5; -6; 7)$.
Координаты вектора $\vec{c} + \vec{d}$ вычисляются следующим образом:
$\vec{c} + \vec{d} = (-3 + 5; 1 + (-6); 2 + 7) = (2; -5; 9)$.
Ответ: $(2; -5; 9)$.

2) координаты вектора $\vec{c} - \vec{d}$;

Чтобы найти координаты разности двух векторов, необходимо из координат первого вектора вычесть соответствующие координаты второго вектора.
Координаты вектора $\vec{c} - \vec{d}$ вычисляются следующим образом:
$\vec{c} - \vec{d} = (-3 - 5; 1 - (-6); 2 - 7) = (-8; 1 + 6; -5) = (-8; 7; -5)$.
Ответ: $(-8; 7; -5)$.

3) $|\vec{c} - \vec{d}|$.

Модуль (длина) вектора $\vec{a}(x; y; z)$ находится по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
Из предыдущего пункта известно, что вектор $\vec{c} - \vec{d}$ имеет координаты $(-8; 7; -5)$.
Найдем его модуль:
$|\vec{c} - \vec{d}| = \sqrt{(-8)^2 + 7^2 + (-5)^2} = \sqrt{64 + 49 + 25} = \sqrt{138}$.
Ответ: $\sqrt{138}$.

2.

Требуется упростить выражение $\vec{BC} - \vec{AE} + \vec{AD} - \vec{PC} - \vec{BD}$.
Для упрощения воспользуемся свойством вычитания векторов ($-\vec{XY} = \vec{YX}$) и правилом сложения векторов (правило многоугольника/цепочки).
Заменим вычитание векторов на сложение с противоположными векторами:
$\vec{BC} - \vec{AE} + \vec{AD} - \vec{PC} - \vec{BD} = \vec{BC} + \vec{EA} + \vec{AD} + \vec{CP} + \vec{DB}$.
Сгруппируем слагаемые для последовательного сложения:
$(\vec{EA} + \vec{AD}) + \vec{DB} + \vec{BC} + \vec{CP}$.
Применяем правило сложения:
$\vec{EA} + \vec{AD} = \vec{ED}$.
Выражение принимает вид: $\vec{ED} + \vec{DB} + \vec{BC} + \vec{CP}$.
Далее: $\vec{ED} + \vec{DB} = \vec{EB}$.
Выражение принимает вид: $\vec{EB} + \vec{BC} + \vec{CP}$.
Далее: $\vec{EB} + \vec{BC} = \vec{EC}$.
И последний шаг: $\vec{EC} + \vec{CP} = \vec{EP}$.
Ответ: $\vec{EP}$.

3.

В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ грань $A_1B_1C_1D_1$ параллельна и равна грани $ABCD$. Следовательно, вектор диагонали верхней грани $\vec{A_1C_1}$ равен вектору диагонали нижней грани $\vec{AC}$.
$\vec{A_1C_1} = \vec{AC}$.
Вектор $\vec{AC}$ является диагональю параллелограмма $ABCD$. По правилу сложения векторов (правило параллелограмма), вектор диагонали равен сумме векторов, выходящих из той же вершины и образующих стороны параллелограмма:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$.
Таким образом, вектор $\vec{A_1C_1}$ можно выразить через заданные векторы следующим образом:
$\vec{A_1C_1} = \vec{AB} + \vec{AD}$.
Ответ: $\vec{A_1C_1} = \vec{AD} + \vec{AB}$.