Страница 18 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 12

Комбинации конуса и пирамиды

1. Основанием пирамиды является прямоугольник. Одна из его сторон равна 12 см и образует с диагональю угол 60°. Каждое боковое ребро пирамиды равно 18 см. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около пирамиды.

2. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, боковая сторона которой равна 20 см, а одно из оснований — 32 см. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

3. Около усечённого конуса описана правильная усечённая треугольная пирамида. Сторона большего основания усечённой пирамиды равна 18 см, высота — $\sqrt{3}$ см. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре большего основания равен 45°. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

1.

Поскольку конус описан около пирамиды, то основание пирамиды вписано в основание конуса, а их вершины совпадают. Так как все боковые ребра пирамиды равны, то ее вершина проецируется в центр окружности, описанной около основания. Для прямоугольника центр описанной окружности — это точка пересечения его диагоналей.

Рассмотрим основание пирамиды — прямоугольник ABCD. Пусть сторона $AB = 12$ см, а угол между этой стороной и диагональю AC равен $60^\circ$ (то есть $\angle CAB = 60^\circ$).

Из прямоугольного треугольника ABC найдем диагональ AC, которая является диаметром основания конуса. $AC = \frac{AB}{\cos(60^\circ)} = \frac{12}{1/2} = 24$ см.

Радиус основания конуса R равен половине диагонали прямоугольника: $R = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Высоту конуса H найдем из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, радиусом описанной окружности и боковым ребром пирамиды L. Боковое ребро пирамиды является образующей конуса, но в данной задаче это не требуется. Боковое ребро пирамиды дано и равно 18 см. По теореме Пифагора: $H^2 + R^2 = L^2$. $H^2 = L^2 - R^2 = 18^2 - 12^2 = (18-12)(18+12) = 6 \cdot 30 = 180$. $H = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$ см.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник с основанием, равным диаметру конуса ($2R$), и высотой, равной высоте конуса (H). Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ вычисляется по формуле: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H$. $S_{сеч} = 12 \cdot 6\sqrt{5} = 72\sqrt{5}$ см².

Ответ: $72\sqrt{5}$ см².

2.

Поскольку конус вписан в пирамиду, то основание конуса вписано в основание пирамиды, их вершины совпадают, а боковая поверхность конуса касается боковых граней пирамиды.

Основание пирамиды — равнобокая трапеция. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин ее оснований равна сумме длин боковых сторон. Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, а боковая сторона равна $c$. По условию $c = 20$ см, одно из оснований (пусть большее) $a = 32$ см. Тогда $a + b = 2c$. $32 + b = 2 \cdot 20 = 40$. $b = 40 - 32 = 8$ см.

Найдем высоту трапеции $h_{трап}$. Проведем высоты из вершин меньшего основания на большее. Они отсекут на большем основании отрезок, равный $(\frac{a-b}{2})$. $(\frac{32-8}{2}) = \frac{24}{2} = 12$ см. Из получившегося прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: $h_{трап}^2 = c^2 - (\frac{a-b}{2})^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$. $h_{трап} = \sqrt{256} = 16$ см.

Радиус вписанной в трапецию окружности R (который является радиусом основания конуса) равен половине высоты трапеции: $R = \frac{h_{трап}}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Высота конуса H равна высоте пирамиды. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $45^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды H, радиусом вписанной окружности R и апофемой пирамиды. Угол между радиусом и апофемой равен углу наклона боковой грани. $\tan(45^\circ) = \frac{H}{R}$. Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, то $H = R = 8$ см.

Площадь осевого сечения конуса $S_{сеч}$ равна: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H = 8 \cdot 8 = 64$ см².

Ответ: 64 см².

3.

Поскольку правильная усеченная треугольная пирамида описана около усеченного конуса, то основания конуса (окружности) вписаны в основания пирамиды (правильные треугольники).

Найдем радиус $R$ большего основания конуса. Он равен радиусу окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a_1 = 18$ см. $R = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{18}{2\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$ см.

Двугранный угол при ребре большего основания равен $45^\circ$. Рассмотрим осевое сечение, перпендикулярное стороне основания. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию, боковая сторона которой является апофемой пирамиды, а основания — высотами треугольных оснований. Высота этой трапеции равна высоте усеченной пирамиды $H = \sqrt{3}$ см. В эту трапецию вписано осевое сечение конуса (тоже трапеция).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой усеченной пирамиды $H$, разностью радиусов оснований $(R-r)$ и образующей конуса $L$ (которая равна апофеме пирамиды). Угол в этом треугольнике при большем основании равен данному двугранному углу $45^\circ$. Из этого треугольника: $\tan(45^\circ) = \frac{H}{R-r}$. Так как $\tan(45^\circ) = 1$, то $H = R - r$. $\sqrt{3} = 3\sqrt{3} - r$. $r = 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем образующую конуса $L$: $\sin(45^\circ) = \frac{H}{L}$. $L = \frac{H}{\sin(45^\circ)} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}/2} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\sqrt{3} = \sqrt{6}$ см.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса $S_{бок}$ вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi(R+r)L$. $S_{бок} = \pi(3\sqrt{3} + 2\sqrt{3})\sqrt{6} = \pi(5\sqrt{3})\sqrt{6} = 5\pi\sqrt{18} = 5\pi\sqrt{9 \cdot 2} = 5\pi \cdot 3\sqrt{2} = 15\pi\sqrt{2}$ см².

Ответ: $15\pi\sqrt{2}$ см².

Самостоятельная работа № 13

Сфера и шар. Уравнение сферы

1. Составьте уравнение сферы, диаметром которой является отрезок $CD$, если $C (2; -5; -2)$, $D (-4; 3; 2)$.

2. Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 2 = 0$ является уравнением сферы; укажите координаты центра и радиус этой сферы.

3. Рёбра $BA$, $BC$ и $BB_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равны соответственно 3 см, 2 см и 2 см. Найдите радиус сферы, проходящей через точки $B$, $A$, $C_1$ и середину ребра $DD_1$.

1.

Уравнение сферы в общем виде: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0, z_0)$ — координаты центра сферы $O$, а $R$ — её радиус.

Центр сферы является серединой её диаметра $CD$. Найдём координаты центра $O(x_0, y_0, z_0)$ по формуле координат середины отрезка:

$x_0 = \frac{x_C + x_D}{2} = \frac{2 + (-4)}{2} = -1$

$y_0 = \frac{y_C + y_D}{2} = \frac{-5 + 3}{2} = -1$

$z_0 = \frac{z_C + z_D}{2} = \frac{-2 + 2}{2} = 0$

Таким образом, центр сферы — точка $O(-1; -1; 0)$.

Радиус сферы $R$ равен половине длины диаметра $CD$. Найдём квадрат длины диаметра $CD^2$:

$CD^2 = (x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2 + (z_D - z_C)^2 = (-4 - 2)^2 + (3 - (-5))^2 + (2 - (-2))^2 = (-6)^2 + 8^2 + 4^2 = 36 + 64 + 16 = 116$.

Квадрат радиуса $R^2$ равен $CD^2 / 4$.

$R^2 = \frac{116}{4} = 29$.

Подставим найденные координаты центра и квадрат радиуса в уравнение сферы:

$(x - (-1))^2 + (y - (-1))^2 + (z - 0)^2 = 29$

$(x + 1)^2 + (y + 1)^2 + z^2 = 29$

Ответ: $(x + 1)^2 + (y + 1)^2 + z^2 = 29$.

2.

Чтобы доказать, что данное уравнение является уравнением сферы, приведём его к каноническому виду $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$ методом выделения полных квадратов.

Исходное уравнение: $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 2 = 0$.

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными и перенесём свободный член в правую часть:

$(x^2 - 2x) + (y^2 - 2y) + z^2 = 2$

Выделим полные квадраты для $x$ и $y$, добавляя к обеим частям уравнения необходимые числа:

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) + z^2 = 2 + 1 + 1$

Свернём квадраты:

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 0)^2 = 4$

Полученное уравнение является каноническим уравнением сферы, так как правая часть $R^2 = 4$ является положительным числом.

Из этого уравнения находим координаты центра сферы $(x_0, y_0, z_0)$ и её радиус $R$.

Координаты центра: $(1; 1; 0)$.

Радиус сферы: $R = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: Уравнение является уравнением сферы с центром в точке $(1; 1; 0)$ и радиусом $R = 2$.

3.

Для решения задачи введём прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в вершину $B$, а оси координат направим вдоль рёбер $BC$, $BA$ и $BB_1$.

Пусть ось $Ox$ направлена вдоль $BC$, ось $Oy$ — вдоль $BA$, ось $Oz$ — вдоль $BB_1$.

Согласно условию, длины рёбер: $BC = 2$, $BA = 3$, $BB_1 = 2$.

Определим координаты вершин и точек, через которые проходит сфера:

Точка $B$ — начало координат: $B(0; 0; 0)$.

Точка $A$ лежит на оси $Oy$: $A(0; 3; 0)$.

Для нахождения координат точки $C_1$, сначала найдём координаты $C$ и $B_1$. Точка $C$ лежит на оси $Ox$: $C(2; 0; 0)$. Точка $B_1$ лежит на оси $Oz$: $B_1(0; 0; 2)$. Координаты $C_1$ получим, сдвинув точку $C$ на вектор $\vec{BB_1}$: $C_1(2; 0; 2)$.

Найдём координаты середины ребра $DD_1$. Сначала найдём координаты точек $D$ и $D_1$. $D$ — вершина основания, её координаты равны сумме векторов $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$: $D(2; 3; 0)$. Координаты $D_1$ получим, сдвинув точку $D$ на вектор $\vec{BB_1}$: $D_1(2; 3; 2)$.

Пусть $M$ — середина ребра $DD_1$. Её координаты:

$M(\frac{2+2}{2}; \frac{3+3}{2}; \frac{0+2}{2}) = M(2; 3; 1)$.

Итак, сфера проходит через четыре точки: $B(0; 0; 0)$, $A(0; 3; 0)$, $C_1(2; 0; 2)$ и $M(2; 3; 1)$.

Пусть центр сферы — точка $O(x_0; y_0; z_0)$, а её радиус — $R$. Уравнение сферы: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$.

Подставим координаты точек в это уравнение и получим систему:

1. Для $B(0; 0; 0)$: $x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = R^2$.

2. Для $A(0; 3; 0)$: $x_0^2 + (3 - y_0)^2 + z_0^2 = R^2$.

3. Для $C_1(2; 0; 2)$: $(2 - x_0)^2 + y_0^2 + (2 - z_0)^2 = R^2$.

4. Для $M(2; 3; 1)$: $(2 - x_0)^2 + (3 - y_0)^2 + (1 - z_0)^2 = R^2$.

Используем первое уравнение для упрощения остальных:

Из (2): $x_0^2 + 9 - 6y_0 + y_0^2 + z_0^2 = R^2 \Rightarrow R^2 + 9 - 6y_0 = R^2 \Rightarrow 9 - 6y_0 = 0 \Rightarrow y_0 = \frac{3}{2}$.

Из (3): $4 - 4x_0 + x_0^2 + y_0^2 + 4 - 4z_0 + z_0^2 = R^2 \Rightarrow 8 - 4x_0 - 4z_0 + R^2 = R^2 \Rightarrow 8 - 4x_0 - 4z_0 = 0 \Rightarrow x_0 + z_0 = 2$.

Из (4): $4 - 4x_0 + x_0^2 + 9 - 6y_0 + y_0^2 + 1 - 2z_0 + z_0^2 = R^2 \Rightarrow 14 - 4x_0 - 6y_0 - 2z_0 + R^2 = R^2 \Rightarrow 14 - 4x_0 - 6y_0 - 2z_0 = 0$.

Подставим $y_0 = 3/2$ в последнее уравнение: $14 - 4x_0 - 6(\frac{3}{2}) - 2z_0 = 0 \Rightarrow 14 - 4x_0 - 9 - 2z_0 = 0 \Rightarrow 5 - 4x_0 - 2z_0 = 0 \Rightarrow 4x_0 + 2z_0 = 5$.

Решим систему из двух уравнений:

$\begin{cases} x_0 + z_0 = 2 \\ 4x_0 + 2z_0 = 5 \end{cases}$

Из первого уравнения $z_0 = 2 - x_0$. Подставим во второе: $4x_0 + 2(2 - x_0) = 5 \Rightarrow 4x_0 + 4 - 2x_0 = 5 \Rightarrow 2x_0 = 1 \Rightarrow x_0 = \frac{1}{2}$.

Тогда $z_0 = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Координаты центра сферы: $O(\frac{1}{2}; \frac{3}{2}; \frac{3}{2})$.

Теперь найдём радиус из первого уравнения: $R^2 = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2$.

$R^2 = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} + \frac{9}{4} = \frac{19}{4}$.

Радиус $R = \sqrt{\frac{19}{4}} = \frac{\sqrt{19}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{19}}{2}$ см.