Страница 13 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 23

Объёмы тел вращения.

Площадь сферы

m

Рис. 1

1. Два шара, радиусы которых равны 5 см и 7 см, имеют общий центр. Найдите объём тела, содержащегося между поверхностями этих шаров.

2. На расстоянии 5 см от центра шара проведено сечение, площадь которого равна $144\pi$ см². Найдите:

1) площадь поверхности шара;

2) площадь сферической части поверхности меньшего из образовавшихся шаровых сегментов.

3. Расстояние между центрами двух шаров равно 21 см, а их радиусы равны 13 см и 20 см. Найдите объём общей части данных шаров.

1.

Объём тела, содержащегося между поверхностями двух шаров с общим центром, равен разности объёмов большего и меньшего шаров.
Формула объёма шара: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ – радиус шара.
Даны радиусы шаров: $R_1 = 7$ см и $R_2 = 5$ см.
Найдём объём большего шара:
$V_1 = \frac{4}{3}\pi R_1^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 7^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 343 = \frac{1372}{3}\pi$ см³.
Найдём объём меньшего шара:
$V_2 = \frac{4}{3}\pi R_2^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 5^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 125 = \frac{500}{3}\pi$ см³.
Искомый объём тела равен разности объёмов:
$V = V_1 - V_2 = \frac{1372}{3}\pi - \frac{500}{3}\pi = \frac{1372 - 500}{3}\pi = \frac{872}{3}\pi$ см³.

Ответ: $\frac{872}{3}\pi$ см³.

2.

1) площадь поверхности шара;

Сечение шара плоскостью представляет собой круг. Площадь этого круга $S_{сеч}$ даётся формулой $S_{сеч} = \pi r^2$, где $r$ – радиус круга в сечении.
По условию, $S_{сеч} = 144\pi$ см².
$\pi r^2 = 144\pi \Rightarrow r^2 = 144 \Rightarrow r = 12$ см.
Радиус шара $R$, расстояние от центра до сечения $d$ и радиус сечения $r$ связаны соотношением по теореме Пифагора: $R^2 = d^2 + r^2$.
По условию, $d = 5$ см.
$R^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.
$R = \sqrt{169} = 13$ см.
Площадь поверхности шара (сферы) вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$.
$S = 4\pi \cdot 13^2 = 4\pi \cdot 169 = 676\pi$ см².

Ответ: $676\pi$ см².

2) площадь сферической части поверхности меньшего из образовавшихся шаровых сегментов.

Секущая плоскость делит шар на два шаровых сегмента. Высота меньшего сегмента $h$ равна $h = R - d$.
$h = 13 - 5 = 8$ см.
Площадь сферической части поверхности шарового сегмента (сферического сегмента) вычисляется по формуле $S_{сегм} = 2\pi R h$.
$S_{сегм} = 2\pi \cdot 13 \cdot 8 = 208\pi$ см².

Ответ: $208\pi$ см².

3.

Общая часть двух пересекающихся шаров состоит из двух шаровых сегментов, примыкающих друг к другу по общему основанию (кругу).
Пусть $R_1 = 13$ см, $R_2 = 20$ см – радиусы шаров, а $d = 21$ см – расстояние между их центрами $O_1$ и $O_2$.
Плоскость, в которой лежат точки пересечения поверхностей шаров, перпендикулярна отрезку $O_1O_2$. Пусть $x$ – расстояние от центра первого шара $O_1$ до этой плоскости. Тогда расстояние от центра второго шара $O_2$ до этой плоскости будет $21-x$.
Радиус $r$ общего основания для обоих сегментов можно выразить через радиусы шаров и расстояния до плоскости:
$r^2 = R_1^2 - x^2 = 13^2 - x^2$
$r^2 = R_2^2 - (21-x)^2 = 20^2 - (21-x)^2$
Приравняем правые части:
$13^2 - x^2 = 20^2 - (21-x)^2$
$169 - x^2 = 400 - (441 - 42x + x^2)$
$169 - x^2 = 400 - 441 + 42x - x^2$
$169 = -41 + 42x$
$210 = 42x$
$x = 5$ см.
Теперь найдём высоты шаровых сегментов.
Высота первого сегмента: $h_1 = R_1 - x = 13 - 5 = 8$ см.
Высота второго сегмента: $h_2 = R_2 - (21-x) = 20 - (21-5) = 20 - 16 = 4$ см.
Объём шарового сегмента вычисляется по формуле $V_{сегм} = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$.
Объём первого сегмента:
$V_1 = \pi h_1^2 (R_1 - \frac{h_1}{3}) = \pi \cdot 8^2 (13 - \frac{8}{3}) = 64\pi (\frac{39-8}{3}) = 64\pi \cdot \frac{31}{3} = \frac{1984}{3}\pi$ см³.
Объём второго сегмента:
$V_2 = \pi h_2^2 (R_2 - \frac{h_2}{3}) = \pi \cdot 4^2 (20 - \frac{4}{3}) = 16\pi (\frac{60-4}{3}) = 16\pi \cdot \frac{56}{3} = \frac{896}{3}\pi$ см³.
Объём общей части равен сумме объёмов двух сегментов:
$V = V_1 + V_2 = \frac{1984}{3}\pi + \frac{896}{3}\pi = \frac{1984 + 896}{3}\pi = \frac{2880}{3}\pi = 960\pi$ см³.

Ответ: $960\pi$ см³.