Страница 9 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 13

Сфера и шар. Уравнение сферы

1. Составьте уравнение сферы, диаметром которой является отрезок $AB$, если $A (-2; 3; 4)$, $B (6; -3; 6)$.

2. Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 + z^2 + 2y - 6z - 6 = 0$ является уравнением сферы; укажите координаты центра и радиус этой сферы.

3. Рёбра $AB$, $AD$ и $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равны соответственно 3 см, 1 см и 2 см. Найдите радиус сферы, проходящей через точки $A$, $B_1$, $D$ и середину ребра $CC_1$.

1. Уравнение сферы с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$.
Центр сферы является серединой диаметра $AB$. Найдем координаты центра $C$, используя формулу середины отрезка:
$x_0 = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$y_0 = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{3 + (-3)}{2} = \frac{0}{2} = 0$
$z_0 = \frac{z_A + z_B}{2} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$
Таким образом, центр сферы — точка $C(2; 0; 5)$.
Радиус сферы $R$ равен половине длины диаметра $AB$. Найдем квадрат длины диаметра, используя формулу расстояния между двумя точками:
$AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2 = (6 - (-2))^2 + (-3 - 3)^2 + (6 - 4)^2 = 8^2 + (-6)^2 + 2^2 = 64 + 36 + 4 = 104$.
Квадрат радиуса $R^2$ равен четверти квадрата диаметра:
$R^2 = \left(\frac{AB}{2}\right)^2 = \frac{AB^2}{4} = \frac{104}{4} = 26$.
Подставим координаты центра и квадрат радиуса в каноническое уравнение сферы:
$(x - 2)^2 + (y - 0)^2 + (z - 5)^2 = 26$
$(x - 2)^2 + y^2 + (z - 5)^2 = 26$.
Ответ: $(x - 2)^2 + y^2 + (z - 5)^2 = 26$.

2. Чтобы доказать, что данное уравнение является уравнением сферы, приведем его к каноническому виду $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$ методом выделения полного квадрата.
Исходное уравнение: $x^2 + y^2 + z^2 + 2y - 6z - 6 = 0$.
Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными:
$x^2 + (y^2 + 2y) + (z^2 - 6z) = 6$
Дополним выражения в скобках до полных квадратов, прибавляя и вычитая необходимые числа:
$y^2 + 2y = (y^2 + 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2) - 1^2 = (y + 1)^2 - 1$
$z^2 - 6z = (z^2 - 2 \cdot z \cdot 3 + 3^2) - 3^2 = (z - 3)^2 - 9$
Подставим полученные выражения обратно в уравнение:
$x^2 + ((y + 1)^2 - 1) + ((z - 3)^2 - 9) = 6$
$x^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 6 + 1 + 9$
$x^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 16$
Полученное уравнение является каноническим уравнением сферы, так как правая часть ($R^2=16$) положительна. Это доказывает, что исходное уравнение является уравнением сферы.
Из полученного уравнения находим координаты центра $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиус $R$:
Центр сферы: $C(0; -1; 3)$.
Квадрат радиуса: $R^2 = 16$, следовательно, радиус: $R = \sqrt{16} = 4$.
Ответ: Координаты центра $(0; -1; 3)$, радиус $R=4$.

3. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Направим оси координат вдоль ребер параллелепипеда: ось $Ox$ вдоль $AB$, ось $Oy$ вдоль $AD$, ось $Oz$ вдоль $AA_1$.
В этой системе координат точки имеют следующие координаты, исходя из длин ребер $AB=3$, $AD=1$, $AA_1=2$:
$A(0; 0; 0)$
$B(3; 0; 0)$, $D(0; 1; 0)$, $A_1(0; 0; 2)$
$B_1$ имеет координаты $(3; 0; 2)$.
$C$ имеет координаты $(3; 1; 0)$.
$C_1$ имеет координаты $(3; 1; 2)$.
Пусть $M$ — середина ребра $CC_1$. Ее координаты: $M\left(\frac{3+3}{2}; \frac{1+1}{2}; \frac{0+2}{2}\right) = M(3; 1; 1)$.
Сфера проходит через точки $A(0; 0; 0)$, $B_1(3; 0; 2)$, $D(0; 1; 0)$ и $M(3; 1; 1)$.
Пусть центр сферы — точка $O(x; y; z)$, а ее радиус — $R$. Центр сферы равноудален от всех точек на ее поверхности, поэтому $OA^2 = OB_1^2 = OD^2 = OM^2 = R^2$.
Запишем квадраты расстояний:
$R^2 = OA^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2 = x^2 + y^2 + z^2$
$OD^2 = (x-0)^2 + (y-1)^2 + (z-0)^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1$
$OB_1^2 = (x-3)^2 + (y-0)^2 + (z-2)^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2 + z^2 - 4z + 4 = x^2+y^2+z^2-6x-4z+13$
$OM^2 = (x-3)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2y + 1 + z^2 - 2z + 1 = x^2+y^2+z^2-6x-2y-2z+11$
Приравняем $OA^2$ к остальным квадратам расстояний:
1) $OA^2 = OD^2 \implies x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1 \implies 0 = -2y + 1 \implies y = \frac{1}{2}$.
2) $OA^2 = OB_1^2 \implies x^2 + y^2 + z^2 = x^2+y^2+z^2-6x-4z+13 \implies 0 = -6x - 4z + 13 \implies 6x + 4z = 13$.
3) $OA^2 = OM^2 \implies x^2 + y^2 + z^2 = x^2+y^2+z^2-6x-2y-2z+11 \implies 0 = -6x - 2y - 2z + 11$.
Подставим $y = \frac{1}{2}$ в третье уравнение: $0 = -6x - 2\left(\frac{1}{2}\right) - 2z + 11 \implies 0 = -6x - 1 - 2z + 11 \implies 6x + 2z = 10 \implies 3x + z = 5$.
Решим систему для $x$ и $z$: $\begin{cases} 6x + 4z = 13 \\ 3x + z = 5 \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $z = 5 - 3x$ и подставим в первое: $6x + 4(5 - 3x) = 13 \implies 6x + 20 - 12x = 13 \implies -6x = -7 \implies x = \frac{7}{6}$.
Тогда $z = 5 - 3\left(\frac{7}{6}\right) = 5 - \frac{7}{2} = \frac{3}{2}$.
Координаты центра сферы: $O\left(\frac{7}{6}; \frac{1}{2}; \frac{3}{2}\right)$.
Найдем квадрат радиуса: $R^2 = OA^2 = x^2 + y^2 + z^2$.
$R^2 = \left(\frac{7}{6}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{49}{36} + \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{49}{36} + \frac{10}{4} = \frac{49}{36} + \frac{90}{36} = \frac{139}{36}$.
Радиус сферы равен: $R = \sqrt{\frac{139}{36}} = \frac{\sqrt{139}}{6}$.
Ответ: $R = \frac{\sqrt{139}}{6}$ см.

Самостоятельная работа № 14

Взаимное расположение сферы и плоскости

1. Вершины треугольника со стороной 16 см и противолежащим ей углом $150^\circ$ лежат на поверхности шара. Расстояние от центра шара до плоскости треугольника равно 12 см. Найдите радиус шара.

2. Шар касается всех сторон равнобокой трапеции, основания которой равны 16 см и 36 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости трапеции, если радиус шара равен 13 см.

3. Составьте уравнение плоскости, касающейся сферы $(x - 6)^2 + (y + 3)^2 + (z - 8)^2 = 9$ в точке $B(4; -2; 6)$.

1.

Пусть $R$ — искомый радиус шара, $d$ — расстояние от центра шара до плоскости треугольника, а $r$ — радиус окружности, описанной около треугольника. Вершины треугольника лежат на поверхности шара, следовательно, плоскость треугольника пересекает шар по окружности, которая является описанной окружностью для этого треугольника.

Эти три величины ($R$, $d$ и $r$) связаны соотношением, которое следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом шара, радиусом сечения и расстоянием от центра шара до плоскости сечения:

$R^2 = d^2 + r^2$

По условию, $d = 12$ см. Нам нужно найти радиус описанной окружности $r$.

Для нахождения радиуса описанной окружности треугольника воспользуемся следствием из теоремы синусов:

$\frac{a}{\sin \alpha} = 2r$

где $a$ — сторона треугольника, а $\alpha$ — противолежащий ей угол.

По условию, $a = 16$ см, а $\alpha = 150^\circ$.

Найдем $\sin 150^\circ$:

$\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

Теперь найдем $r$:

$2r = \frac{16}{\sin 150^\circ} = \frac{16}{1/2} = 32$

$r = \frac{32}{2} = 16$ см.

Теперь мы можем найти радиус шара $R$:

$R^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$

$R = \sqrt{400} = 20$ см.

Ответ: 20 см.

2.

Пусть $d$ — искомое расстояние от центра шара до плоскости трапеции, $R$ — радиус шара, а $r$ — радиус окружности, вписанной в трапецию. Так как шар касается всех сторон трапеции, то в эту трапецию можно вписать окружность. Центр этой окружности является проекцией центра шара на плоскость трапеции.

Величины $R$, $d$ и $r$ связаны соотношением:

$R^2 = d^2 + r^2$

По условию, радиус шара $R = 13$ см. Нам нужно найти радиус вписанной окружности $r$.

Основания равнобокой трапеции равны $a = 16$ см и $b = 36$ см. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Пусть $c$ — длина боковой стороны. Тогда:

$a + b = 2c$

$16 + 36 = 2c \implies 52 = 2c \implies c = 26$ см.

Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине ее высоты: $r = h/2$. Найдем высоту $h$. Проведем из вершины меньшего основания высоту к большему основанию. Она отсекает от большего основания отрезок длиной $(b-a)/2$.

Длина отрезка: $\frac{36 - 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Теперь по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной $c$, высотой $h$ и найденным отрезком:

$h^2 + (\frac{b-a}{2})^2 = c^2$

$h^2 + 10^2 = 26^2$

$h^2 + 100 = 676$

$h^2 = 576$

$h = \sqrt{576} = 24$ см.

Радиус вписанной окружности:

$r = \frac{h}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Теперь найдем искомое расстояние $d$:

$d^2 = R^2 - r^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$

$d = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

3.

Уравнение сферы имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0, z_0)$ — координаты центра сферы, а $R$ — ее радиус.

Из данного уравнения сферы $(x - 6)^2 + (y + 3)^2 + (z - 8)^2 = 9$ находим координаты ее центра $C(6; -3; 8)$.

Плоскость, касающаяся сферы в точке $B$, перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Следовательно, вектор $\vec{CB}$ является вектором нормали к искомой плоскости.

Найдем координаты вектора $\vec{CB}$, где $B(4; -2; 6)$ и $C(6; -3; 8)$:

$\vec{n} = \vec{CB} = (4 - 6; -2 - (-3); 6 - 8) = (-2; 1; -2)$

Уравнение плоскости, проходящей через точку $B(x_1; y_1; z_1)$ с вектором нормали $\vec{n} = (A; B; C)$, имеет вид:

$A(x - x_1) + B(y - y_1) + C(z - z_1) = 0$

Подставим координаты точки $B(4; -2; 6)$ и вектора нормали $\vec{n} = (-2; 1; -2)$:

$-2(x - 4) + 1(y - (-2)) - 2(z - 6) = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$-2x + 8 + y + 2 - 2z + 12 = 0$

$-2x + y - 2z + 22 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:

$2x - y + 2z - 22 = 0$

Ответ: $2x - y + 2z - 22 = 0$.

Самостоятельная работа № 15

Многогранники, вписанные в сферу

1. Основанием прямой призмы является треугольник, одна из сторон которого равна 5 см, а противолежащий ей угол равен $30^\circ$. Высота призмы равна 24 см. Найдите радиус шара, описанного около данной призмы.

2. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны 8 см и 12 см, а боковое ребро — $6\sqrt{2}$ см. Найдите радиус шара, описанного около данной усечённой пирамиды.

3. Каждое боковое ребро пирамиды равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите радиус шара, описанного около данной пирамиды.

1.

Радиус шара $R$, описанного около прямой призмы, можно найти по формуле: $R = \sqrt{r^2 + (\frac{H}{2})^2}$, где $r$ — радиус окружности, описанной около основания призмы, а $H$ — высота призмы.

Высота призмы дана: $H = 24$ см.

Основанием призмы является треугольник, у которого сторона $a = 5$ см, а противолежащий ей угол $\alpha = 30^{\circ}$. Радиус описанной около этого треугольника окружности $r$ можно найти, используя следствие из теоремы синусов: $\frac{a}{\sin\alpha} = 2r$.

Отсюда, $r = \frac{a}{2\sin\alpha}$.

Подставим известные значения: $r = \frac{5}{2\sin30^{\circ}} = \frac{5}{2 \cdot 0.5} = \frac{5}{1} = 5$ см.

Теперь, когда мы знаем $r$ и $H$, можем найти радиус описанного шара $R$: $R = \sqrt{5^2 + (\frac{24}{2})^2} = \sqrt{25 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: 13 см.

2.

Все вершины правильной усечённой пирамиды лежат на описанной сфере. Центр этой сферы лежит на оси пирамиды. Рассмотрим диагональное сечение усечённой пирамиды. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию, вершины которой также лежат на сфере. Окружность, описанная вокруг этой трапеции, является большим кругом описанной сферы, и её радиус равен радиусу сферы $R$.

Основаниями этой трапеции являются диагонали квадратов, лежащих в основаниях усечённой пирамиды. Пусть стороны оснований $a_1 = 12$ см и $a_2 = 8$ см.

Длина диагоналей оснований: $d_1 = a_1\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$ см. $d_2 = a_2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см.

Боковыми сторонами трапеции являются боковые рёбра усечённой пирамиды, $l = 6\sqrt{2}$ см.

Найдём высоту усечённой пирамиды $H$, которая также является высотой нашей трапеции. Её можно найти из прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром $l$, высотой $H$ и проекцией бокового ребра на плоскость большего основания. Длина этой проекции равна полуразности диагоналей: $\frac{d_1 - d_2}{2} = \frac{12\sqrt{2} - 8\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

По теореме Пифагора: $H^2 = l^2 - (\frac{d_1 - d_2}{2})^2 = (6\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{2})^2 = 72 - 8 = 64$. $H = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь найдём радиус $R$ окружности, описанной вокруг этой трапеции. Разместим трапецию в системе координат так, чтобы её ось симметрии совпадала с осью $Oy$, а основания были параллельны оси $Ox$ и находились на высоте $y = H/2 = 4$ и $y = -H/2 = -4$.

Координаты вершин трапеции будут: Верхнее основание: $(\frac{d_2}{2}, \frac{H}{2}) = (4\sqrt{2}, 4)$. Нижнее основание: $(\frac{d_1}{2}, -\frac{H}{2}) = (6\sqrt{2}, -4)$.

Центр описанной окружности $O$ имеет координаты $(0, y_0)$. Расстояние от центра до любой вершины равно радиусу $R$. $R^2 = (4\sqrt{2} - 0)^2 + (4 - y_0)^2 = 32 + (4 - y_0)^2$. $R^2 = (6\sqrt{2} - 0)^2 + (-4 - y_0)^2 = 72 + (-4 - y_0)^2$.

Приравняем правые части: $32 + (4 - y_0)^2 = 72 + (-4 - y_0)^2$ $32 + 16 - 8y_0 + y_0^2 = 72 + 16 + 8y_0 + y_0^2$ $48 - 8y_0 = 88 + 8y_0$ $16y_0 = 48 - 88 = -40$ $y_0 = -\frac{40}{16} = -2.5$.

Теперь найдём $R^2$: $R^2 = 32 + (4 - (-2.5))^2 = 32 + (6.5)^2 = 32 + 42.25 = 74.25$.

$R = \sqrt{74.25} = \sqrt{\frac{297}{4}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 33}}{2} = \frac{3\sqrt{33}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{3\sqrt{33}}{2}$ см.

3.

Так как все боковые рёбра пирамиды равны $b$ и образуют с плоскостью основания один и тот же угол $\alpha$, вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром $b$ (гипотенуза), высотой пирамиды $H$ и радиусом $r$ описанной около основания окружности (катеты). Угол между боковым ребром и его проекцией на основание (радиусом $r$) равен $\alpha$.

Из этого треугольника получаем: $H = b \sin\alpha$ $r = b \cos\alpha$

Центр описанной сферы лежит на высоте пирамиды. Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через высоту пирамиды и одно из боковых рёбер. В сечении получится равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $b$ и основанием $2r$. Окружность, описанная около этого треугольника, является большим кругом описанной сферы, её радиус $R$ и есть искомый радиус.

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно найти по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ - стороны, а $S$ - площадь. Для нашего треугольника в сечении стороны равны $b, b, 2r$. Площадь этого треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot H = rH$.

Подставим в формулу: $R = \frac{b \cdot b \cdot 2r}{4 \cdot (rH)} = \frac{2b^2r}{4rH} = \frac{b^2}{2H}$.

Теперь подставим выражение для высоты $H = b \sin\alpha$: $R = \frac{b^2}{2(b \sin\alpha)} = \frac{b}{2\sin\alpha}$.

Ответ: $\frac{b}{2\sin\alpha}$.