Номер 14, страница 9 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 14

Взаимное расположение сферы и плоскости

1. Вершины треугольника со стороной 16 см и противолежащим ей углом $150^\circ$ лежат на поверхности шара. Расстояние от центра шара до плоскости треугольника равно 12 см. Найдите радиус шара.

2. Шар касается всех сторон равнобокой трапеции, основания которой равны 16 см и 36 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости трапеции, если радиус шара равен 13 см.

3. Составьте уравнение плоскости, касающейся сферы $(x - 6)^2 + (y + 3)^2 + (z - 8)^2 = 9$ в точке $B(4; -2; 6)$.

1.

Пусть $R$ — искомый радиус шара, $d$ — расстояние от центра шара до плоскости треугольника, а $r$ — радиус окружности, описанной около треугольника. Вершины треугольника лежат на поверхности шара, следовательно, плоскость треугольника пересекает шар по окружности, которая является описанной окружностью для этого треугольника.

Эти три величины ($R$, $d$ и $r$) связаны соотношением, которое следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом шара, радиусом сечения и расстоянием от центра шара до плоскости сечения:

$R^2 = d^2 + r^2$

По условию, $d = 12$ см. Нам нужно найти радиус описанной окружности $r$.

Для нахождения радиуса описанной окружности треугольника воспользуемся следствием из теоремы синусов:

$\frac{a}{\sin \alpha} = 2r$

где $a$ — сторона треугольника, а $\alpha$ — противолежащий ей угол.

По условию, $a = 16$ см, а $\alpha = 150^\circ$.

Найдем $\sin 150^\circ$:

$\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

Теперь найдем $r$:

$2r = \frac{16}{\sin 150^\circ} = \frac{16}{1/2} = 32$

$r = \frac{32}{2} = 16$ см.

Теперь мы можем найти радиус шара $R$:

$R^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$

$R = \sqrt{400} = 20$ см.

Ответ: 20 см.

2.

Пусть $d$ — искомое расстояние от центра шара до плоскости трапеции, $R$ — радиус шара, а $r$ — радиус окружности, вписанной в трапецию. Так как шар касается всех сторон трапеции, то в эту трапецию можно вписать окружность. Центр этой окружности является проекцией центра шара на плоскость трапеции.

Величины $R$, $d$ и $r$ связаны соотношением:

$R^2 = d^2 + r^2$

По условию, радиус шара $R = 13$ см. Нам нужно найти радиус вписанной окружности $r$.

Основания равнобокой трапеции равны $a = 16$ см и $b = 36$ см. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Пусть $c$ — длина боковой стороны. Тогда:

$a + b = 2c$

$16 + 36 = 2c \implies 52 = 2c \implies c = 26$ см.

Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине ее высоты: $r = h/2$. Найдем высоту $h$. Проведем из вершины меньшего основания высоту к большему основанию. Она отсекает от большего основания отрезок длиной $(b-a)/2$.

Длина отрезка: $\frac{36 - 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Теперь по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной $c$, высотой $h$ и найденным отрезком:

$h^2 + (\frac{b-a}{2})^2 = c^2$

$h^2 + 10^2 = 26^2$

$h^2 + 100 = 676$

$h^2 = 576$

$h = \sqrt{576} = 24$ см.

Радиус вписанной окружности:

$r = \frac{h}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Теперь найдем искомое расстояние $d$:

$d^2 = R^2 - r^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$

$d = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

3.

Уравнение сферы имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0, z_0)$ — координаты центра сферы, а $R$ — ее радиус.

Из данного уравнения сферы $(x - 6)^2 + (y + 3)^2 + (z - 8)^2 = 9$ находим координаты ее центра $C(6; -3; 8)$.

Плоскость, касающаяся сферы в точке $B$, перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Следовательно, вектор $\vec{CB}$ является вектором нормали к искомой плоскости.

Найдем координаты вектора $\vec{CB}$, где $B(4; -2; 6)$ и $C(6; -3; 8)$:

$\vec{n} = \vec{CB} = (4 - 6; -2 - (-3); 6 - 8) = (-2; 1; -2)$

Уравнение плоскости, проходящей через точку $B(x_1; y_1; z_1)$ с вектором нормали $\vec{n} = (A; B; C)$, имеет вид:

$A(x - x_1) + B(y - y_1) + C(z - z_1) = 0$

Подставим координаты точки $B(4; -2; 6)$ и вектора нормали $\vec{n} = (-2; 1; -2)$:

$-2(x - 4) + 1(y - (-2)) - 2(z - 6) = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$-2x + 8 + y + 2 - 2z + 12 = 0$

$-2x + y - 2z + 22 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:

$2x - y + 2z - 22 = 0$

Ответ: $2x - y + 2z - 22 = 0$.