Номер 10, страница 7 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 10

Конус

1. Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник. Высота конуса равна 10 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

2. Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор, градусная мера дуги которого равна 300°. Найдите образующую конуса, если радиус его основания равен 5 см.

3. Стороны треугольника равны 13 см, 20 см и 21 см. Он вращается вокруг прямой, содержащей наибольшую из его сторон. Найдите площадь поверхности тела вращения.

1.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. По условию, этот треугольник является прямоугольным. Это означает, что угол при вершине конуса равен $90^\circ$. В таком треугольнике высота, проведенная к основанию (гипотенузе), является также медианой и равна половине гипотенузы.

Высота конуса $H$ совпадает с высотой этого треугольника, а диаметр основания конуса $D$ совпадает с гипотенузой. Радиус основания конуса $R$ равен половине диаметра, то есть $R = D/2$.

Таким образом, для нашего осевого сечения имеем $H = D/2 = R$.

По условию, высота конуса $H = 10$ см. Следовательно, радиус основания $R = 10$ см.

Образующая конуса $l$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, образованном высотой $H$ и радиусом $R$. По теореме Пифагора:

$l^2 = H^2 + R^2$

$l^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200$

$l = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$ см.

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi R l = \pi R (R + l)$

Подставим найденные значения $R$ и $l$:

$S_{полн} = \pi \cdot 10 \cdot (10 + 10\sqrt{2}) = 100\pi (1 + \sqrt{2})$ см².

Ответ: $100\pi (1 + \sqrt{2})$ см².

2.

Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор. Радиус этого сектора равен образующей конуса $l$, а длина дуги этого сектора равна длине окружности основания конуса $C$.

Длина окружности основания конуса вычисляется по формуле $C = 2\pi R$, где $R$ — радиус основания.

По условию, $R = 5$ см, значит $C = 2\pi \cdot 5 = 10\pi$ см.

Длина дуги сектора вычисляется по формуле $L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi l$, где $\alpha$ — градусная мера дуги, а $l$ — радиус сектора (образующая конуса).

По условию, $\alpha = 300^\circ$.

Так как длина дуги сектора равна длине окружности основания ($L = C$), мы можем составить уравнение:

$\frac{300^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi l = 10\pi$

Сократим дробь и $2\pi$ в левой части:

$\frac{5}{6} \cdot 2\pi l = 10\pi$

Разделим обе части уравнения на $10\pi$:

$\frac{1}{6} \cdot l = 1$

$l = 6$ см.

Ответ: 6 см.

3.

Тело вращения, полученное при вращении треугольника вокруг его наибольшей стороны, состоит из двух конусов с общим основанием.

Стороны треугольника равны $a = 13$ см, $b = 20$ см и $c = 21$ см. Вращение происходит вокруг наибольшей стороны $c = 21$ см.

Площадь поверхности этого тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов. Образующими этих конусов являются две другие стороны треугольника: $l_1 = 13$ см и $l_2 = 20$ см.

Площадь поверхности тела вращения: $S = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi R l_1 + \pi R l_2 = \pi R (l_1 + l_2)$.

Радиус общего основания конусов $R$ — это высота треугольника, опущенная на наибольшую сторону $c = 21$ см. Найдем эту высоту, предварительно вычислив площадь треугольника по формуле Герона.

Полупериметр треугольника $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+20+21}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см.

Площадь треугольника $A$:

$A = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{27(27-13)(27-20)(27-21)}$

$A = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 9) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{9 \cdot 9 \cdot 4 \cdot 49} = 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 = 126$ см².

С другой стороны, площадь треугольника можно выразить через высоту $h$ (которая равна нашему радиусу $R$), проведенную к стороне $c$:

$A = \frac{1}{2} c \cdot h$

$126 = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot h$

$h = \frac{126 \cdot 2}{21} = 6 \cdot 2 = 12$ см. Итак, $R = 12$ см.

Теперь можем найти площадь поверхности тела вращения:

$S = \pi R (l_1 + l_2) = \pi \cdot 12 \cdot (13 + 20) = 12\pi \cdot 33 = 396\pi$ см².

Ответ: $396\pi$ см².