Номер 8, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 8

Цилиндр

1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 см и образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

2. Прямоугольник $ABCD$ является развёрткой боковой поверхности цилиндра, $AC = 8$ см, $\angle ACD = 30^\circ$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если меньшая сторона прямоугольника $ABCD$ является высотой цилиндра.

3. Через образующую цилиндра проведены два сечения, площади которых равны $10\sqrt{2}$ см$^2$ и $20$ см$^2$. Угол между плоскостями сечений равен $45^\circ$. Найдите площадь сечения цилиндра, проходящего через две другие образующие данных сечений.

1.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник. Пусть его стороны равны $h$ (высота цилиндра) и $D$ (диаметр основания). Диагональ этого прямоугольника $d = 8$ см, и она образует с плоскостью основания (то есть с диаметром $D$) угол $\alpha = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, диаметром $D$ и диагональю $d$. В этом треугольнике $d$ является гипотенузой.

Высоту цилиндра $h$ можно найти как катет, противолежащий углу $\alpha$:

$h = d \cdot \sin(\alpha) = 8 \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Диаметр основания $D$ можно найти как катет, прилежащий к углу $\alpha$:

$D = d \cdot \cos(\alpha) = 8 \cdot \cos(60^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

Радиус основания $r$ равен половине диаметра:

$r = \frac{D}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi rh$ или $S_{бок} = \pi Dh$.

$S_{бок} = \pi \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\pi\sqrt{3}$ см².

Ответ: $16\pi\sqrt{3}$ см².

2.

Развёрткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник $ABCD$. Стороны этого прямоугольника равны высоте цилиндра $h$ и длине окружности его основания $C = 2\pi r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACD$, в котором гипотенуза $AC = 8$ см, а угол $\angle ACD = 30^\circ$. Найдем стороны прямоугольника $AD$ и $CD$:

$AD = AC \cdot \sin(\angle ACD) = 8 \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

$CD = AC \cdot \cos(\angle ACD) = 8 \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

По условию, меньшая сторона прямоугольника является высотой цилиндра. Сравним длины сторон: $4 < 4\sqrt{3}$. Следовательно, высота цилиндра $h = AD = 4$ см. Тогда длина окружности основания $C = CD = 4\sqrt{3}$ см.

Найдем радиус основания $r$ из формулы длины окружности $C = 2\pi r$:

$r = \frac{C}{2\pi} = \frac{4\sqrt{3}}{2\pi} = \frac{2\sqrt{3}}{\pi}$ см.

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ складывается из площади боковой поверхности $S_{бок}$ и двух площадей оснований $2S_{осн}$.

Площадь боковой поверхности равна площади развёртки:

$S_{бок} = AD \cdot CD = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ см².

Площадь одного основания вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi r^2$:

$S_{осн} = \pi \left(\frac{2\sqrt{3}}{\pi}\right)^2 = \pi \cdot \frac{4 \cdot 3}{\pi^2} = \frac{12}{\pi}$ см².

Тогда площадь полной поверхности равна:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 16\sqrt{3} + 2 \cdot \frac{12}{\pi} = 16\sqrt{3} + \frac{24}{\pi}$ см².

Ответ: $16\sqrt{3} + \frac{24}{\pi}$ см².

3.

Пусть высота цилиндра (длина образующей) равна $h$. Сечения, проходящие через образующую, являются прямоугольниками, одна сторона которых равна $h$, а другая — хорде в основании цилиндра.

Пусть первое сечение имеет площадь $S_1 = 10\sqrt{2}$ см², а второе — $S_2 = 20$ см². Пусть $a_1$ и $a_2$ — длины соответствующих хорд в основании. Тогда:

$S_1 = a_1 h = 10\sqrt{2} \implies a_1 = \frac{10\sqrt{2}}{h}$

$S_2 = a_2 h = 20 \implies a_2 = \frac{20}{h}$

Оба сечения проходят через одну образующую. Это означает, что соответствующие хорды $a_1$ и $a_2$ имеют общую точку на окружности основания. Угол между плоскостями сечений равен углу между этими хордами, то есть $\alpha = 45^\circ$.

Требуется найти площадь третьего сечения, проходящего через две другие образующие данных сечений. Основанием этого сечения будет хорда $a_3$, соединяющая концы хорд $a_1$ и $a_2$. Площадь этого сечения будет $S_3 = a_3 h$.

Рассмотрим треугольник в основании, образованный хордами $a_1$, $a_2$ и $a_3$. По теореме косинусов для этого треугольника:

$a_3^2 = a_1^2 + a_2^2 - 2a_1 a_2 \cos(\alpha)$

Подставим выражения для $a_1$ и $a_2$:

$a_3^2 = \left(\frac{10\sqrt{2}}{h}\right)^2 + \left(\frac{20}{h}\right)^2 - 2 \cdot \frac{10\sqrt{2}}{h} \cdot \frac{20}{h} \cdot \cos(45^\circ)$

$a_3^2 = \frac{100 \cdot 2}{h^2} + \frac{400}{h^2} - 2 \cdot \frac{200\sqrt{2}}{h^2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$a_3^2 = \frac{200}{h^2} + \frac{400}{h^2} - \frac{400 \cdot 2}{2h^2}$

$a_3^2 = \frac{600}{h^2} - \frac{400}{h^2} = \frac{200}{h^2}$

Отсюда найдем длину хорды $a_3$:

$a_3 = \sqrt{\frac{200}{h^2}} = \frac{\sqrt{200}}{h} = \frac{10\sqrt{2}}{h}$

Теперь найдем площадь третьего сечения $S_3$:

$S_3 = a_3 h = \frac{10\sqrt{2}}{h} \cdot h = 10\sqrt{2}$ см².

Ответ: $10\sqrt{2}$ см².