Номер 6, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 6

Скалярное произведение векторов

1. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a}$ (2; -1; 2) и $\vec{b}$ (-4; 1; 3).

2. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ$. Найдите:

1) $(2\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot \vec{a}$; 2) $|2\vec{a} + 3\vec{b}|$.

3. Дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$. Известно, что $AB = BC = AA_1$, $\angle ABC = 120^\circ$. Найдите угол между прямыми $A_1C$ и $AB$.

1.

Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$ находится по формуле:

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$

Даны векторы $\vec{a}(2; -1; 2)$ и $\vec{b}(-4; 1; 3)$.

1. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot (-4) + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 3 = -8 - 1 + 6 = -3$

2. Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-4)^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 1 + 9} = \sqrt{26}$

3. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \theta = \frac{-3}{3 \cdot \sqrt{26}} = \frac{-1}{\sqrt{26}} = -\frac{\sqrt{26}}{26}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{26}}{26}$

2.

Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, где $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, а угол между ними $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ$.

Сначала найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) = 3 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$

1) Найдите $(2\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot \vec{a}$.

Используем свойства скалярного произведения (распределительный закон):

$(2\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot \vec{a} = 2\vec{a} \cdot \vec{a} + 3\vec{b} \cdot \vec{a}$

Помним, что скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины ($\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$) и что $\vec{b} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{b}$.

$2|\vec{a}|^2 + 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 2 \cdot (3)^2 + 3 \cdot 3 = 2 \cdot 9 + 9 = 18 + 9 = 27$

Ответ: 27

2) Найдите $|2\vec{a} + 3\vec{b}|$.

Модуль вектора равен квадратному корню из скалярного квадрата этого вектора: $|\vec{c}| = \sqrt{\vec{c} \cdot \vec{c}} = \sqrt{|\vec{c}|^2}$.

Найдем сначала квадрат модуля:

$|2\vec{a} + 3\vec{b}|^2 = (2\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (2\vec{a} + 3\vec{b})$

Раскроем скобки, используя распределительный закон:

$(2\vec{a} \cdot 2\vec{a}) + (2\vec{a} \cdot 3\vec{b}) + (3\vec{b} \cdot 2\vec{a}) + (3\vec{b} \cdot 3\vec{b}) = 4(\vec{a} \cdot \vec{a}) + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 6(\vec{b} \cdot \vec{a}) + 9(\vec{b} \cdot \vec{b})$

Упростим выражение:

$4|\vec{a}|^2 + 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9|\vec{b}|^2$

Подставим известные значения:

$4 \cdot (3)^2 + 12 \cdot 3 + 9 \cdot (2)^2 = 4 \cdot 9 + 36 + 9 \cdot 4 = 36 + 36 + 36 = 108$

Теперь найдем сам модуль, извлекая квадратный корень:

$|2\vec{a} + 3\vec{b}| = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$

Ответ: $6\sqrt{3}$

3.

Для нахождения угла между прямыми $A_1C$ и $AB$ воспользуемся векторным методом. Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами $\vec{A_1C}$ и $\vec{AB}$.

Введем систему координат. Пусть точка $B$ будет началом координат $(0, 0, 0)$. Направим ось $Bx$ вдоль прямой $BC$. Так как призма прямая, ось $Bz$ направим вдоль ребра $BB_1$.

Пусть сторона основания и боковое ребро равны $a$, т.е. $AB = BC = AA_1 = a$.

Определим координаты вершин:

$B(0, 0, 0)$.

$C(a, 0, 0)$, так как $BC=a$ и лежит на оси $Bx$.

Для нахождения координат точки $A$ используем то, что $AB=a$ и $\angle ABC = 120^\circ$. В плоскости $xy$ координаты точки $A$ будут $(a \cos(120^\circ), a \sin(120^\circ), 0)$.

$\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, $\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, $A(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Призма прямая, поэтому $A_1$ имеет те же координаты $x$ и $y$, что и $A$, а координата $z$ равна высоте призмы $AA_1 = a$.

$A_1(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, a)$.

Теперь найдем координаты направляющих векторов:

$\vec{AB} = A - B = (-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0) - (0, 0, 0) = (-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.

$\vec{A_1C} = C - A_1 = (a, 0, 0) - (-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, a) = (a + \frac{a}{2}, 0 - \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0 - a) = (\frac{3a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, -a)$.

Косинус угла $\theta$ между векторами находится по формуле:

$\cos \theta = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{A_1C}|}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{A_1C}|}$ (берем модуль скалярного произведения, так как ищем острый угол между прямыми).

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{AB} \cdot \vec{A_1C} = (-\frac{a}{2}) \cdot (\frac{3a}{2}) + (\frac{a\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\frac{a\sqrt{3}}{2}) + (0) \cdot (-a) = -\frac{3a^2}{4} - \frac{3a^2}{4} + 0 = -\frac{6a^2}{4} = -\frac{3a^2}{2}$.

Вычислим длины векторов:

$|\vec{AB}| = \sqrt{(-\frac{a}{2})^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{\frac{4a^2}{4}} = \sqrt{a^2} = a$.

$|\vec{A_1C}| = \sqrt{(\frac{3a}{2})^2 + (-\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + (-a)^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{12a^2}{4} + a^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$.

Подставим значения в формулу косинуса:

$\cos \theta = \frac{|-\frac{3a^2}{2}|}{a \cdot 2a} = \frac{\frac{3a^2}{2}}{2a^2} = \frac{3a^2}{4a^2} = \frac{3}{4}$.

Искомый угол $\theta = \arccos(\frac{3}{4})$.

Ответ: $\arccos(\frac{3}{4})$