Номер 5, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 5

Умножение вектора на число. Гомотетия

1. Найдите координаты образа точки B (2; −15; 8) при гомотетии с центром в точке A (−1; 3; 5) и коэффициентом гомотетии $k = \frac{2}{3}$.

2. Через точку M, принадлежащую высоте пирамиды, проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Найдите площадь меньшего основания образовавшейся при этом усечённой пирамиды, если площадь основания данной пирамиды равна 243 см², а точка M делит её высоту в отношении 4 : 5, считая от вершины пирамиды.

3. Дан тетраэдр DABC. Медианы грани ABC пересекаются в точке O. Точка F — середина ребра CD. Выразите вектор $\overrightarrow{OF}$ через векторы $\overrightarrow{CA}$, $\overrightarrow{CB}$ и $\overrightarrow{CD}$.

1. Пусть $B'(x'; y'; z')$ – образ точки $B(2; -15; 8)$ при гомотетии с центром в точке $A(-1; 3; 5)$ и коэффициентом $k = \frac{2}{3}$. По определению гомотетии, вектор $\vec{AB'}$ связан с вектором $\vec{AB}$ соотношением: $\vec{AB'} = k \cdot \vec{AB}$.
Сначала найдем координаты вектора $\vec{AB}$:
$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (2 - (-1); -15 - 3; 8 - 5) = (3; -18; 3)$.
Теперь умножим вектор $\vec{AB}$ на коэффициент $k = \frac{2}{3}$:
$\vec{AB'} = \frac{2}{3} \cdot \vec{AB} = \frac{2}{3} \cdot (3; -18; 3) = (\frac{2}{3} \cdot 3; \frac{2}{3} \cdot (-18); \frac{2}{3} \cdot 3) = (2; -12; 2)$.
Координаты вектора $\vec{AB'}$ также можно выразить через координаты точек $A$ и $B'$:
$\vec{AB'} = (x' - x_A; y' - y_A; z' - z_A) = (x' - (-1); y' - 3; z' - 5) = (x' + 1; y' - 3; z' - 5)$.
Приравнивая полученные выражения для координат вектора $\vec{AB'}$, получаем систему уравнений:
$x' + 1 = 2 \implies x' = 1$
$y' - 3 = -12 \implies y' = -9$
$z' - 5 = 2 \implies z' = 7$
Таким образом, координаты образа точки $B$ есть $B'(1; -9; 7)$.
Ответ: $(1; -9; 7)$.

2. Плоскость, проведенная через точку $M$ на высоте пирамиды параллельно основанию, отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду, подобную исходной.
Пусть $S_{полн}$ – площадь основания исходной пирамиды, а $h_{полн}$ – её полная высота.
Пусть $S_{сеч}$ – площадь сечения (меньшего основания усеченной пирамиды), а $h_{малой}$ – высота отсеченной малой пирамиды.
По условию, точка $M$ делит высоту в отношении $4 : 5$, считая от вершины. Это означает, что высота малой пирамиды относится к "остатку" высоты как $4:5$.
Тогда отношение высоты малой пирамиды к высоте полной пирамиды равно:
$k = \frac{h_{малой}}{h_{полн}} = \frac{4}{4+5} = \frac{4}{9}$.
Это отношение является коэффициентом подобия двух пирамид.
Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия:
$\frac{S_{сеч}}{S_{полн}} = k^2 = (\frac{4}{9})^2 = \frac{16}{81}$.
Нам известна площадь основания исходной пирамиды $S_{полн} = 243$ см$^2$. Найдем площадь сечения $S_{сеч}$:
$S_{сеч} = S_{полн} \cdot \frac{16}{81} = 243 \cdot \frac{16}{81}$.
Так как $243 = 3 \cdot 81$, то:
$S_{сеч} = 3 \cdot 16 = 48$ см$^2$.
Площадь меньшего основания образовавшейся усеченной пирамиды равна площади сечения.
Ответ: $48$ см$^2$.

3. Для решения задачи выберем в качестве начала отсчета точку $C$. Тогда векторы $\vec{CA}$, $\vec{CB}$ и $\vec{CD}$ будут радиус-векторами точек $A$, $B$ и $D$ соответственно.
Точка $O$ является точкой пересечения медиан (центроидом) грани $ABC$. Её радиус-вектор $\vec{CO}$ можно найти как среднее арифметическое радиус-векторов вершин треугольника:
$\vec{CO} = \frac{1}{3}(\vec{CA} + \vec{CB} + \vec{CC})$.
Так как $\vec{CC}$ – это нулевой вектор, получаем:
$\vec{CO} = \frac{1}{3}(\vec{CA} + \vec{CB})$.
Точка $F$ – середина ребра $CD$. Её радиус-вектор $\vec{CF}$ равен полусумме радиус-векторов точек $C$ и $D$:
$\vec{CF} = \frac{1}{2}(\vec{CC} + \vec{CD}) = \frac{1}{2}\vec{CD}$.
Теперь выразим искомый вектор $\vec{OF}$ по правилу разности векторов:
$\vec{OF} = \vec{CF} - \vec{CO}$.
Подставим найденные выражения для $\vec{CF}$ и $\vec{CO}$:
$\vec{OF} = \frac{1}{2}\vec{CD} - \frac{1}{3}(\vec{CA} + \vec{CB})$.
Раскроем скобки:
$\vec{OF} = -\frac{1}{3}\vec{CA} - \frac{1}{3}\vec{CB} + \frac{1}{2}\vec{CD}$.
Ответ: $\vec{OF} = -\frac{1}{3}\vec{CA} - \frac{1}{3}\vec{CB} + \frac{1}{2}\vec{CD}$.