Номер 7, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 7

Уравнение плоскости

1. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $M (2; 3; -1)$ и перпендикулярной прямой $AB$, если $A (2; -6; 4)$, $B (6; -3; 5)$.

2. Докажите, что плоскости $2x - y + 4z - 20 = 0$ и $3x - 14y - 5z + 32 = 0$ перпендикулярны.

3. Рёбра $AB$, $AD$ и $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ соответственно равны 2 см, 1 см и 3 см. Найдите расстояние от точки $C_1$ до плоскости $BA_1D$.

1.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M(x_0; y_0; z_0)$ и имеющей нормальный вектор $\vec{n} = (A; B; C)$, имеет вид: $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.

По условию, плоскость проходит через точку $M(2; 3; -1)$. Значит, $x_0=2$, $y_0=3$, $z_0=-1$.

Плоскость перпендикулярна прямой AB. Это означает, что вектор $\vec{AB}$ является нормальным вектором $\vec{n}$ для этой плоскости. Найдем координаты вектора $\vec{AB}$, зная координаты точек $A(2; -6; 4)$ и $B(6; -3; 5)$:

$\vec{n} = \vec{AB} = (6 - 2; -3 - (-6); 5 - 4) = (4; 3; 1)$.

Таким образом, $A=4$, $B=3$, $C=1$.

Подставим координаты точки $M$ и вектора $\vec{n}$ в уравнение плоскости:

$4(x - 2) + 3(y - 3) + 1(z - (-1)) = 0$

$4(x - 2) + 3(y - 3) + (z + 1) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить общее уравнение плоскости:

$4x - 8 + 3y - 9 + z + 1 = 0$

$4x + 3y + z - 16 = 0$

Ответ: $4x + 3y + z - 16 = 0$.

2.

Две плоскости, заданные уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы $\vec{n_1} = (A_1; B_1; C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2; B_2; C_2)$ перпендикулярны.

Условием перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$, или $A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$.

Для первой плоскости $2x - y + 4z - 20 = 0$ нормальный вектор $\vec{n_1} = (2; -1; 4)$.

Для второй плоскости $3x - 14y - 5z + 32 = 0$ нормальный вектор $\vec{n_2} = (3; -14; -5)$.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 \cdot 3 + (-1) \cdot (-14) + 4 \cdot (-5) = 6 + 14 - 20 = 0$.

Так как скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, векторы перпендикулярны, а значит, и сами плоскости перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Скалярное произведение нормальных векторов плоскостей равно 0, следовательно, плоскости перпендикулярны.

3.

Введем прямоугольную систему координат. Поместим вершину $A$ прямоугольного параллелепипеда в начало координат $A(0; 0; 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

Согласно условию, длины ребер: $AB = 2$, $AD = 1$, $AA_1 = 3$.

В этой системе координат вершины будут иметь следующие координаты:

• $B(2; 0; 0)$
• $D(0; 1; 0)$
• $A_1(0; 0; 3)$
• $C_1(2; 1; 3)$

Чтобы найти расстояние от точки $C_1$ до плоскости $BA_1D$, сначала составим уравнение этой плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три точки, можно найти, определив её нормальный вектор.

Найдем два вектора, лежащих в плоскости $BA_1D$, например, $\vec{DB}$ и $\vec{DA_1}$:

$\vec{DB} = (2-0; 0-1; 0-0) = (2; -1; 0)$

$\vec{DA_1} = (0-0; 0-1; 3-0) = (0; -1; 3)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости перпендикулярен обоим этим векторам, поэтому его можно найти как их векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{DB} \times \vec{DA_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-1 \cdot 3 - 0 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(2 \cdot 3 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(2 \cdot (-1) - 0 \cdot (-1)) = -3\mathbf{i} - 6\mathbf{j} - 2\mathbf{k}$.

Таким образом, нормальный вектор $\vec{n} = (-3; -6; -2)$. Для удобства можно взять коллинеарный ему вектор, умножив на -1: $\vec{n'} = (3; 6; 2)$.

Теперь составим уравнение плоскости, используя нормальный вектор $\vec{n'} = (3; 6; 2)$ и точку $D(0; 1; 0)$, лежащую в плоскости:

$3(x - 0) + 6(y - 1) + 2(z - 0) = 0$

$3x + 6y - 6 + 2z = 0$

$3x + 6y + 2z - 6 = 0$

Расстояние $d$ от точки $M(x_1; y_1; z_1)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Подставим координаты точки $C_1(2; 1; 3)$ и коэффициенты уравнения плоскости $3x + 6y + 2z - 6 = 0$:

$d = \frac{|3 \cdot 2 + 6 \cdot 1 + 2 \cdot 3 - 6|}{\sqrt{3^2 + 6^2 + 2^2}} = \frac{|6 + 6 + 6 - 6|}{\sqrt{9 + 36 + 4}} = \frac{|12|}{\sqrt{49}} = \frac{12}{7}$.

Ответ: $\frac{12}{7}$ см.