Номер 12, страница 8 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 12

Комбинации конуса и пирамиды

1. Основанием пирамиды является прямоугольник, стороны которого равны 18 см и 24 см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около пирамиды.

2. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, основания которой равны 2 см и 32 см. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $60^\circ$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

3. Около усечённого конуса описана правильная усечённая треугольная пирамида. Сторона меньшего основания усечённой пирамиды равна 6 см, высота — 3 см. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре большего основания равен $30^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

1.

Конус описан около пирамиды, значит, основание пирамиды (прямоугольник) вписано в основание конуса (окружность), а их вершины совпадают. Следовательно, радиус основания конуса $R$ равен радиусу окружности, описанной около прямоугольника.

Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности. Найдем диагональ $d$ по теореме Пифагора, где стороны прямоугольника $a=18$ см и $b=24$ см:
$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30$ см.

Радиус основания конуса равен половине диагонали:
$R = \frac{d}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

Так как все боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания одинаковый угол $30^\circ$, то вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности основания (точку пересечения диагоналей прямоугольника). Высота конуса $H$ совпадает с высотой пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром и радиусом $R$ (проекцией бокового ребра на основание). В этом треугольнике $R$ является прилежащим катетом к углу $30^\circ$, а $H$ — противолежащим.
$H = R \cdot \tan(30^\circ) = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3}$ см.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник с основанием, равным диаметру конуса $2R$, и высотой $H$. Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ вычисляется по формуле:
$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H = 15 \cdot 5\sqrt{3} = 75\sqrt{3}$ см².

Ответ: $75\sqrt{3}$ см².

2.

Конус вписан в пирамиду, значит, основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (равнобокую трапецию), а их вершины совпадают.

Так как все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одинаковым углом $60^\circ$, то вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Радиус основания конуса $r$ равен радиусу этой окружности.

Для того чтобы в трапецию можно было вписать окружность, сумма длин ее оснований должна быть равна сумме длин боковых сторон. Пусть основания трапеции $a=32$ см и $b=2$ см, а боковая сторона — $c$. Тогда:
$a+b = 2c \implies 32+2 = 2c \implies c = 17$ см.

Высота трапеции $h_{трап}$ является диаметром вписанной окружности ($h_{трап}=2r$). Найдем высоту, проведя ее из вершины меньшего основания. Она образует прямоугольный треугольник с боковой стороной $c$ (гипотенуза) и катетом, равным полуразности оснований:
Катет = $\frac{a-b}{2} = \frac{32-2}{2} = 15$ см.
По теореме Пифагора:
$h_{трап} = \sqrt{c^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{(17-15)(17+15)} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64} = 8$ см.

Радиус вписанной окружности (и основания конуса):
$r = \frac{h_{трап}}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Высота конуса $H$ совпадает с высотой пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $r$ и апофемой боковой грани. Угол между апофемой и радиусом $r$ (проекцией апофемы) равен углу наклона боковой грани, то есть $60^\circ$.
$H = r \cdot \tan(60^\circ) = 4 \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Площадь осевого сечения конуса $S_{сеч}$ равна:
$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot H = r \cdot H = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ см².

Ответ: $16\sqrt{3}$ см².

3.

Около усеченного конуса описана правильная усеченная треугольная пирамида. Это означает, что основания конуса (окружности) вписаны в основания пирамиды (правильные треугольники).

Найдем радиус $r$ меньшего основания конуса. Он равен радиусу окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a_1 = 6$ см.
$r = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.

Двугранный угол усеченной пирамиды при ребре большего основания равен $30^\circ$. Это угол между боковой гранью и плоскостью большего основания. Рассмотрим сечение, перпендикулярное ребру основания, проходящее через апофемы. Это сечение представляет собой прямоугольную трапецию, где одна из боковых сторон — высота усеченной пирамиды $H=3$ см, а основания — радиусы вписанных окружностей $R$ и $r$. Наклонная боковая сторона — это апофема усеченной пирамиды. Угол между апофемой и радиусом $R$ равен $30^\circ$.

В этой трапеции, опустив высоту из конца меньшего основания на большее, получим прямоугольный треугольник. Его катеты равны $H$ и $R-r$, а гипотенуза — апофема пирамиды. Угол при основании $R$ равен $30^\circ$.
$\tan(30^\circ) = \frac{H}{R-r} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{R-r}$.
Отсюда $R-r = 3\sqrt{3}$.
$R = r + 3\sqrt{3} = \sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Для нахождения площади боковой поверхности усеченного конуса нужна его образующая $L$. Образующая является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса $H$ и разностью радиусов $R-r$.
$L = \sqrt{H^2 + (R-r)^2} = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6$ см.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса $S_{бок}$ вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \pi(R+r)L = \pi(4\sqrt{3} + \sqrt{3}) \cdot 6 = \pi \cdot 5\sqrt{3} \cdot 6 = 30\pi\sqrt{3}$ см².

Ответ: $30\pi\sqrt{3}$ см².