Номер 17, страница 10 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 17

Тела вращения, вписанные в сферу

1. В шар, радиус которого равен 5 см, вписан цилиндр, об-разующая которого равна 8 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

2. Образующая усечённого конуса наклонена к плоскости большего основания под углом $ \alpha $, а радиусы оснований конуса равны $ R $ и $ r $, $ R > r $. Найдите радиус шара, описанного около усечённого конуса.

3. Радиус основания конуса равен 10 см, а радиус шара, описанного около данного конуса, — 12,5 см. Найдите высоту конуса.

1.

Пусть $R_{ш}$ — радиус шара, $h_{ц}$ — образующая (высота) цилиндра, а $r_{ц}$ — радиус основания цилиндра. По условию задачи, $R_{ш} = 5$ см и $h_{ц} = 8$ см.
Рассмотрим осевое сечение, проходящее через ось цилиндра и центр шара. В сечении мы получим прямоугольник (осевое сечение цилиндра), вписанный в окружность (большой круг шара). Высота этого прямоугольника равна высоте цилиндра $h_{ц}$, а его ширина — диаметру основания цилиндра $2r_{ц}$. Диагональ прямоугольника является диаметром шара $2R_{ш}$.
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного диагональю, высотой и шириной прямоугольника:
$(2R_{ш})^2 = h_{ц}^2 + (2r_{ц})^2$
Подставим известные значения:
$(2 \cdot 5)^2 = 8^2 + (2r_{ц})^2$
$100 = 64 + 4r_{ц}^2$
$4r_{ц}^2 = 100 - 64$
$4r_{ц}^2 = 36$
$r_{ц}^2 = 9$
$r_{ц} = 3$ см.
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi r_{ц} h_{ц}$.
$S_{бок} = 2 \pi \cdot 3 \cdot 8 = 48\pi$ см².
Ответ: $48\pi$ см².

2.

Пусть $R_{ш}$ — искомый радиус описанного шара. Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобедренную трапецию, вписанную в большую окружность шара. Радиус этой окружности и есть радиус шара $R_{ш}$.
Основания трапеции равны диаметрам оснований конуса ($2R$ и $2r$), боковая сторона — образующей $l$, а высота — высоте конуса $h$. Угол $\alpha$ — это угол между боковой стороной (образующей) и большим основанием трапеции.
Рассмотрим треугольник, образованный вершинами трапеции $A$, $B$ и $C$, где $AB$ — большее основание ($=2R$), а $BC$ — боковая сторона. Этот треугольник вписан в ту же окружность. По теореме синусов для треугольника $ABC$:
$2R_{ш} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}$
Угол $\angle ABC$ в трапеции равен углу наклона образующей $\alpha$.
$AC$ — диагональ трапеции. Ее длину можно найти из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота трапеции $h$ и отрезок, равный $R+r$. Высоту $h$ выразим через $R, r$ и $\alpha$ из другого прямоугольного треугольника с катетами $h$ и $R-r$: $h=(R-r)\tan(\alpha)$.
Тогда квадрат диагонали:
$AC^2 = h^2 + (R+r)^2 = ((R-r)\tan(\alpha))^2 + (R+r)^2$
Теперь найдем радиус шара:
$R_{ш} = \frac{AC}{2\sin(\alpha)} = \frac{\sqrt{((R-r)\tan(\alpha))^2 + (R+r)^2}}{2\sin(\alpha)}$
Упростим выражение. Возведем в квадрат:
$R_{ш}^2 = \frac{(R-r)^2\tan^2(\alpha) + (R+r)^2}{4\sin^2(\alpha)} = \frac{(R-r)^2\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} + (R+r)^2}{4\sin^2(\alpha)}$
$R_{ш}^2 = \frac{(R-r)^2\sin^2(\alpha) + (R+r)^2\cos^2(\alpha)}{4\sin^2(\alpha)\cos^2(\alpha)}$
$R_{ш}^2 = \frac{R^2\sin^2\alpha - 2Rr\sin^2\alpha + r^2\sin^2\alpha + R^2\cos^2\alpha + 2Rr\cos^2\alpha + r^2\cos^2\alpha}{(2\sin\alpha\cos\alpha)^2}$
$R_{ш}^2 = \frac{R^2(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha) + r^2(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha) + 2Rr(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)}{\sin^2(2\alpha)}$
$R_{ш}^2 = \frac{R^2+r^2+2Rr\cos(2\alpha)}{\sin^2(2\alpha)}$
Извлекая корень, получаем:
$R_{ш} = \frac{\sqrt{R^2+r^2+2Rr\cos(2\alpha)}}{|\sin(2\alpha)|}$
Ответ: $\frac{\sqrt{R^2+r^2+2Rr\cos(2\alpha)}}{|\sin(2\alpha)|}$.

3.

Пусть $r_{к}=10$ см — радиус основания конуса, $R_{ш}=12,5$ см — радиус описанного шара, $h_{к}$ — искомая высота конуса.
Рассмотрим осевое сечение. Это равнобедренный треугольник (сечение конуса), вписанный в большую окружность шара. Основание треугольника — $2r_{к} = 20$ см, высота — $h_{к}$. Радиус описанной окружности — $R_{ш}=12,5$ см.
Центр шара $O$ лежит на оси конуса (на высоте треугольника). Пусть $M$ — центр основания конуса, а $A$ — точка на окружности основания. Треугольник $\triangle OMA$ — прямоугольный, где $OA=R_{ш}$ — гипотенуза, а $AM=r_{к}$ — катет.
Найдем длину катета $OM$ — расстояние от центра шара до плоскости основания конуса:
$OM^2 = OA^2 - AM^2$
$OM = \sqrt{12,5^2 - 10^2} = \sqrt{156,25 - 100} = \sqrt{56,25} = 7,5$ см.
Высота конуса $h_{к}$ — это расстояние от вершины конуса $V$ до центра основания $M$. Вершина $V$ лежит на сфере, поэтому расстояние от центра шара $O$ до вершины $V$ равно радиусу шара $R_{ш}$.
Существует два возможных случая расположения конуса:
1. Центр шара $O$ находится внутри конуса (между основанием и вершиной). Тогда высота конуса равна сумме расстояния $OM$ и радиуса шара $OV$:
$h_{к1} = OM + OV = 7,5 + 12,5 = 20$ см.
2. Центр шара $O$ находится вне конуса (основание конуса находится между центром шара и вершиной). Тогда высота конуса равна разности радиуса шара $OV$ и расстояния $OM$:
$h_{к2} = OV - OM = 12,5 - 7,5 = 5$ см.
Оба случая являются решением задачи.
Ответ: 20 см или 5 см.