Страница 10 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 16

Многогранники, описанные около сферы

1. Найдите радиус шара, вписанного в правильную треугольную пирамиду, сторона основания которой равна $a$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$.

2. В прямую призму вписан шар. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если площадь её основания равна 8 см$^2$.

3. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $12\sqrt{3}$ см, а центр шара, вписанного в пирамиду, делит её высоту в отношении 5 : 3, считая от вершины пирамиды. Найдите высоту пирамиды.

1. Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC с основанием ABC. Сторона основания равна $a$. Пусть SO - высота пирамиды, O - центр основания (и центр вписанной и описанной окружностей). Вписанный шар касается всех граней пирамиды. Центр вписанного шара (пусть это точка I) лежит на высоте пирамиды SO.
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту SO и апофему основания OM (где M - середина стороны BC). Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник SOM, где SM - апофема боковой грани (слант-высота). Угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла при ребре основания, то есть $\angle SMO = \alpha$.
Центр вписанного шара I равноудален от всех граней. Расстояние от I до плоскости основания (ABC) равно радиусу шара $r$, и это расстояние равно длине отрезка IO. Таким образом, $IO = r$. Расстояние от точки I до боковой грани (SBC) также равно $r$. В нашем сечении это расстояние будет перпендикуляром, опущенным из точки I на апофему SM.
Точка I лежит на биссектрисе двугранного угла, поэтому в треугольнике SOM отрезок MI является биссектрисой угла $\angle SMO$. Следовательно, $\angle IMO = \frac{\alpha}{2}$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник IOM (с прямым углом при O). В нем катет $IO = r$, а катет OM - это радиус вписанной в основание окружности (апофема основания). Для правильного треугольника со стороной $a$ радиус вписанной окружности равен: $OM = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.
Из треугольника IOM имеем соотношение: $\tan(\angle IMO) = \frac{IO}{OM}$ $\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{r}{OM}$ Отсюда выражаем радиус $r$: $r = OM \cdot \tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{a\sqrt{3}}{6} \tan(\frac{\alpha}{2})$.
Ответ: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \tan(\frac{\alpha}{2})$.

2. Если в прямую призму вписан шар, то его центр равноудален от всех граней призмы. Это означает, что шар касается обоих оснований и всех боковых граней.
1. Касание оснований означает, что расстояние между основаниями, то есть высота призмы $H$, равна диаметру шара $2r$, где $r$ - радиус шара. Итак, $H = 2r$.
2. Касание боковых граней означает, что в основание призмы можно вписать окружность, радиус которой равен радиусу шара $r$.
Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ - периметр основания.
Площадь многоугольника, в который можно вписать окружность, связана с его периметром и радиусом вписанной окружности $r$ формулой $S_{осн} = p \cdot r$, где $p$ - полупериметр ($p = P_{осн}/2$).
Отсюда $S_{осн} = \frac{P_{осн}}{2} \cdot r$. Выразим периметр: $P_{осн} = \frac{2S_{осн}}{r}$.
Теперь подставим выражения для $P_{осн}$ и $H$ в формулу площади боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H = \left(\frac{2S_{осн}}{r}\right) \cdot (2r) = 4S_{осн}$.
По условию, площадь основания $S_{осн} = 8 \text{ см}^2$. Найдем площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 4 \cdot 8 = 32 \text{ см}^2$.
Ответ: $32 \text{ см}^2$.

3. Пусть SO - высота правильной треугольной пирамиды, $H = SO$. Центр вписанного шара, точка I, лежит на высоте SO. По условию, точка I делит высоту в отношении 5:3, считая от вершины S. То есть $SI : IO = 5 : 3$.
Всю высоту $H$ можно представить как $5x + 3x = 8x$. Тогда $SI = 5x$ и $IO = 3x$. Отсюда $H = 8x$.
Расстояние от центра вписанного шара до основания равно радиусу шара $r$. В нашем случае это отрезок IO. $r = IO = 3x = \frac{3}{8}H$.
Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через высоту SO и апофему основания OM. Получим прямоугольный треугольник SOM. Точка I лежит на катете SO.
Сторона основания $a = 12\sqrt{3}$ см. Найдем апофему основания OM (радиус вписанной в основание окружности): $OM = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 6$ см.
Проведем из точки I перпендикуляр IK к гипотенузе SM (апофеме боковой грани). Длина этого перпендикуляра также равна радиусу вписанного шара, $IK = r = \frac{3}{8}H$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SIK$ и $\triangle SOM$. Они подобны по общему острому углу $\angle S$.
Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон: $\frac{SI}{SM} = \frac{IK}{OM}$.
Нам известны: $SI = 5x = \frac{5}{8}H$; $IK = r = \frac{3}{8}H$; $OM = 6$ см.
Апофему боковой грани SM найдем по теореме Пифагора из $\triangle SOM$: $SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{H^2 + 6^2} = \sqrt{H^2 + 36}$.
Подставим все в пропорцию: $\frac{\frac{5}{8}H}{\sqrt{H^2 + 36}} = \frac{\frac{3}{8}H}{6}$.
Так как высота $H \neq 0$, можно сократить обе части уравнения на $\frac{H}{8}$: $\frac{5}{\sqrt{H^2 + 36}} = \frac{3}{6}$ $\frac{5}{\sqrt{H^2 + 36}} = \frac{1}{2}$.
По свойству пропорции: $\sqrt{H^2 + 36} = 5 \cdot 2 = 10$.
Возведем обе части в квадрат: $H^2 + 36 = 100$ $H^2 = 100 - 36 = 64$ $H = \sqrt{64} = 8$ см.
Ответ: $8$ см.

Самостоятельная работа № 17

Тела вращения, вписанные в сферу

1. В шар, радиус которого равен 5 см, вписан цилиндр, об-разующая которого равна 8 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

2. Образующая усечённого конуса наклонена к плоскости большего основания под углом $ \alpha $, а радиусы оснований конуса равны $ R $ и $ r $, $ R > r $. Найдите радиус шара, описанного около усечённого конуса.

3. Радиус основания конуса равен 10 см, а радиус шара, описанного около данного конуса, — 12,5 см. Найдите высоту конуса.

1.

Пусть $R_{ш}$ — радиус шара, $h_{ц}$ — образующая (высота) цилиндра, а $r_{ц}$ — радиус основания цилиндра. По условию задачи, $R_{ш} = 5$ см и $h_{ц} = 8$ см.
Рассмотрим осевое сечение, проходящее через ось цилиндра и центр шара. В сечении мы получим прямоугольник (осевое сечение цилиндра), вписанный в окружность (большой круг шара). Высота этого прямоугольника равна высоте цилиндра $h_{ц}$, а его ширина — диаметру основания цилиндра $2r_{ц}$. Диагональ прямоугольника является диаметром шара $2R_{ш}$.
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного диагональю, высотой и шириной прямоугольника:
$(2R_{ш})^2 = h_{ц}^2 + (2r_{ц})^2$
Подставим известные значения:
$(2 \cdot 5)^2 = 8^2 + (2r_{ц})^2$
$100 = 64 + 4r_{ц}^2$
$4r_{ц}^2 = 100 - 64$
$4r_{ц}^2 = 36$
$r_{ц}^2 = 9$
$r_{ц} = 3$ см.
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi r_{ц} h_{ц}$.
$S_{бок} = 2 \pi \cdot 3 \cdot 8 = 48\pi$ см².
Ответ: $48\pi$ см².

2.

Пусть $R_{ш}$ — искомый радиус описанного шара. Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобедренную трапецию, вписанную в большую окружность шара. Радиус этой окружности и есть радиус шара $R_{ш}$.
Основания трапеции равны диаметрам оснований конуса ($2R$ и $2r$), боковая сторона — образующей $l$, а высота — высоте конуса $h$. Угол $\alpha$ — это угол между боковой стороной (образующей) и большим основанием трапеции.
Рассмотрим треугольник, образованный вершинами трапеции $A$, $B$ и $C$, где $AB$ — большее основание ($=2R$), а $BC$ — боковая сторона. Этот треугольник вписан в ту же окружность. По теореме синусов для треугольника $ABC$:
$2R_{ш} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}$
Угол $\angle ABC$ в трапеции равен углу наклона образующей $\alpha$.
$AC$ — диагональ трапеции. Ее длину можно найти из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота трапеции $h$ и отрезок, равный $R+r$. Высоту $h$ выразим через $R, r$ и $\alpha$ из другого прямоугольного треугольника с катетами $h$ и $R-r$: $h=(R-r)\tan(\alpha)$.
Тогда квадрат диагонали:
$AC^2 = h^2 + (R+r)^2 = ((R-r)\tan(\alpha))^2 + (R+r)^2$
Теперь найдем радиус шара:
$R_{ш} = \frac{AC}{2\sin(\alpha)} = \frac{\sqrt{((R-r)\tan(\alpha))^2 + (R+r)^2}}{2\sin(\alpha)}$
Упростим выражение. Возведем в квадрат:
$R_{ш}^2 = \frac{(R-r)^2\tan^2(\alpha) + (R+r)^2}{4\sin^2(\alpha)} = \frac{(R-r)^2\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} + (R+r)^2}{4\sin^2(\alpha)}$
$R_{ш}^2 = \frac{(R-r)^2\sin^2(\alpha) + (R+r)^2\cos^2(\alpha)}{4\sin^2(\alpha)\cos^2(\alpha)}$
$R_{ш}^2 = \frac{R^2\sin^2\alpha - 2Rr\sin^2\alpha + r^2\sin^2\alpha + R^2\cos^2\alpha + 2Rr\cos^2\alpha + r^2\cos^2\alpha}{(2\sin\alpha\cos\alpha)^2}$
$R_{ш}^2 = \frac{R^2(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha) + r^2(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha) + 2Rr(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)}{\sin^2(2\alpha)}$
$R_{ш}^2 = \frac{R^2+r^2+2Rr\cos(2\alpha)}{\sin^2(2\alpha)}$
Извлекая корень, получаем:
$R_{ш} = \frac{\sqrt{R^2+r^2+2Rr\cos(2\alpha)}}{|\sin(2\alpha)|}$
Ответ: $\frac{\sqrt{R^2+r^2+2Rr\cos(2\alpha)}}{|\sin(2\alpha)|}$.

3.

Пусть $r_{к}=10$ см — радиус основания конуса, $R_{ш}=12,5$ см — радиус описанного шара, $h_{к}$ — искомая высота конуса.
Рассмотрим осевое сечение. Это равнобедренный треугольник (сечение конуса), вписанный в большую окружность шара. Основание треугольника — $2r_{к} = 20$ см, высота — $h_{к}$. Радиус описанной окружности — $R_{ш}=12,5$ см.
Центр шара $O$ лежит на оси конуса (на высоте треугольника). Пусть $M$ — центр основания конуса, а $A$ — точка на окружности основания. Треугольник $\triangle OMA$ — прямоугольный, где $OA=R_{ш}$ — гипотенуза, а $AM=r_{к}$ — катет.
Найдем длину катета $OM$ — расстояние от центра шара до плоскости основания конуса:
$OM^2 = OA^2 - AM^2$
$OM = \sqrt{12,5^2 - 10^2} = \sqrt{156,25 - 100} = \sqrt{56,25} = 7,5$ см.
Высота конуса $h_{к}$ — это расстояние от вершины конуса $V$ до центра основания $M$. Вершина $V$ лежит на сфере, поэтому расстояние от центра шара $O$ до вершины $V$ равно радиусу шара $R_{ш}$.
Существует два возможных случая расположения конуса:
1. Центр шара $O$ находится внутри конуса (между основанием и вершиной). Тогда высота конуса равна сумме расстояния $OM$ и радиуса шара $OV$:
$h_{к1} = OM + OV = 7,5 + 12,5 = 20$ см.
2. Центр шара $O$ находится вне конуса (основание конуса находится между центром шара и вершиной). Тогда высота конуса равна разности радиуса шара $OV$ и расстояния $OM$:
$h_{к2} = OV - OM = 12,5 - 7,5 = 5$ см.
Оба случая являются решением задачи.
Ответ: 20 см или 5 см.

Самостоятельная работа № 18

Тела вращения, описанные около сферы

1. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $16\pi$ см$^2$. Найдите радиус шара, вписанного в данный цилиндр.

2. Радиус шара, вписанного в конус, равен 12 см, а расстояние от центра шара до вершины конуса — 20 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

3. Радиусы оснований усечённого конуса равны 4 см и 9 см. В конус вписан шар. Найдите радиус шара и образующую усечённого конуса.

1.

Если в цилиндр вписан шар, то радиус основания цилиндра $R$ равен радиусу шара $r$, а высота цилиндра $H$ равна диаметру шара, то есть $H = 2r$. Такой цилиндр называется равносторонним.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле: $S_{бок} = 2\pi R H$.

Подставим в эту формулу соотношения для цилиндра, описанного около шара: $R = r$ и $H = 2r$.

$S_{бок} = 2\pi \cdot r \cdot (2r) = 4\pi r^2$.

По условию задачи, $S_{бок} = 16\pi$ см². Приравняем это значение к полученной формуле:

$4\pi r^2 = 16\pi$.

Разделим обе части уравнения на $4\pi$:

$r^2 = 4$.

Отсюда находим радиус шара (так как радиус не может быть отрицательным):

$r = \sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: 2 см.

2.

Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Сечением является равнобедренный треугольник с вписанной в него окружностью.

Пусть $S$ — вершина конуса, $O$ — центр вписанного шара, $r$ — его радиус, $L$ — образующая конуса, $R$ — радиус основания конуса, $H$ — высота конуса.

Центр $O$ лежит на высоте конуса. По условию, радиус шара $r = 12$ см, а расстояние от центра шара до вершины конуса $SO = 20$ см.

Проведем радиус шара $OK$ в точку касания шара с образующей $SA$. Тогда $OK \perp SA$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOK$. Гипотенуза $SO = 20$ см, катет $OK = r = 12$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет $SK$:

$SK = \sqrt{SO^2 - OK^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16$ см.

Рассмотрим осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник $\triangle SAB$ с высотой $SO_1 = H$. Прямоугольные треугольники $\triangle SOK$ и $\triangle SO_1A$ подобны по общему острому углу при вершине $S$.

Из подобия треугольников следует соотношение сторон:

$\frac{OK}{O_1A} = \frac{SO}{SA} = \frac{SK}{SO_1}$

Подставляя известные обозначения: $\frac{r}{R} = \frac{SO}{L} = \frac{SK}{H}$.

Высота конуса $H$ равна сумме расстояния от вершины до центра шара и радиуса шара: $H = SO_1 = SO + OO_1 = 20 + 12 = 32$ см.

Используя соотношение $\frac{SK}{H} = \frac{SO}{L}$, найдем образующую $L$:

$\frac{16}{32} = \frac{20}{L} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{20}{L} \Rightarrow L = 2 \cdot 20 = 40$ см.

Теперь найдем радиус основания конуса $R$ из соотношения $\frac{r}{R} = \frac{SO}{L}$:

$\frac{12}{R} = \frac{20}{40} \Rightarrow \frac{12}{R} = \frac{1}{2} \Rightarrow R = 12 \cdot 2 = 24$ см.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$.

$S_{бок} = \pi \cdot 24 \cdot 40 = 960\pi$ см².

Ответ: $960\pi$ см².

3.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса и вписанного в него шара. Сечением является равнобокая трапеция с вписанной в нее окружностью.

Пусть радиусы оснований усечённого конуса $R_1 = 9$ см и $R_2 = 4$ см, образующая — $L$, высота — $H$.

Для того чтобы в усечённый конус можно было вписать шар, необходимо, чтобы его образующая была равна сумме радиусов оснований. Это свойство следует из того, что в описанной около окружности трапеции сумма оснований равна сумме боковых сторон.

В нашем случае, $2R_1 + 2R_2 = 2L$, откуда $L = R_1 + R_2$.

Найдем образующую усечённого конуса:

$L = 9 + 4 = 13$ см.

Радиус вписанного шара $r$ равен половине высоты усечённого конуса: $r = H/2$. Найдем высоту $H$.

Проведем высоту из вершины меньшего основания трапеции на большее основание. Получим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза — это образующая $L$, один катет — высота $H$, а второй катет равен разности радиусов оснований $R_1 - R_2$.

По теореме Пифагора:

$L^2 = H^2 + (R_1 - R_2)^2$.

Подставим известные значения:

$13^2 = H^2 + (9 - 4)^2$

$169 = H^2 + 5^2$

$169 = H^2 + 25$

$H^2 = 169 - 25 = 144$

$H = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь найдем радиус вписанного шара:

$r = \frac{H}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Ответ: радиус шара 6 см, образующая усечённого конуса 13 см.