Страница 4 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Вариант 1

Самостоятельная работа № 1

Декартовы координаты точки в пространстве

1. Точка $M$ принадлежит отрезку $AB$. Известно, что $A(1; -4; 3)$, $M(-1; -2; 1)$. Найдите координаты точки $B$, если:

1) $AM = MB$;

2) $AM : MB = 2 : 3$.

2. Найдите точку, принадлежащую оси ординат и равноудалённую от точек $A(-2; 3; 1)$ и $B(1; 2; -4)$.

3. Основанием прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадрат $ABCD$. Известно, что $AB = 4$ см, $AA_1 = 8$ см. Найдите расстояние от точки $C_1$ до центроида тетраэдра $AA_1BD$.

1)

Поскольку $AM = MB$, точка M является серединой отрезка AB. Координаты середины отрезка $(x_M; y_M; z_M)$ с концами в точках $A(x_A; y_A; z_A)$ и $B(x_B; y_B; z_B)$ вычисляются по формулам:

$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$, $y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$, $z_M = \frac{z_A + z_B}{2}$.

Для нахождения координат точки B выразим их из этих формул:

$x_B = 2x_M - x_A$

$y_B = 2y_M - y_A$

$z_B = 2z_M - z_A$

Подставим известные координаты точек A(1; -4; 3) и M(-1; -2; 1):

$x_B = 2 \cdot (-1) - 1 = -2 - 1 = -3$

$y_B = 2 \cdot (-2) - (-4) = -4 + 4 = 0$

$z_B = 2 \cdot 1 - 3 = 2 - 3 = -1$

Координаты точки B: (-3; 0; -1).

Ответ: B(-3; 0; -1).

2)

Если точка M делит отрезок AB в отношении $AM : MB = m : n = 2 : 3$, то её координаты находятся по формулам:

$x_M = \frac{n \cdot x_A + m \cdot x_B}{m+n}$, $y_M = \frac{n \cdot y_A + m \cdot y_B}{m+n}$, $z_M = \frac{n \cdot z_A + m \cdot z_B}{m+n}$.

Выразим из этих формул координаты точки B:

$m \cdot x_B = (m+n)x_M - n \cdot x_A \Rightarrow x_B = \frac{(m+n)x_M - n \cdot x_A}{m}$

$y_B = \frac{(m+n)y_M - n \cdot y_A}{m}$

$z_B = \frac{(m+n)z_M - n \cdot z_A}{m}$

Подставим известные координаты точек A(1; -4; 3), M(-1; -2; 1) и значения $m=2$, $n=3$:

$x_B = \frac{(2+3) \cdot (-1) - 3 \cdot 1}{2} = \frac{5 \cdot (-1) - 3}{2} = \frac{-5 - 3}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

$y_B = \frac{(2+3) \cdot (-2) - 3 \cdot (-4)}{2} = \frac{5 \cdot (-2) + 12}{2} = \frac{-10 + 12}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$z_B = \frac{(2+3) \cdot 1 - 3 \cdot 3}{2} = \frac{5 \cdot 1 - 9}{2} = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Координаты точки B: (-4; 1; -2).

Ответ: B(-4; 1; -2).

Обозначим искомую точку на оси ординат как P. Так как точка P принадлежит оси ординат (оси Oy), её координаты имеют вид $(0; y; 0)$.

По условию, точка P равноудалена от точек A(-2; 3; 1) и B(1; 2; -4). Это означает, что расстояние $PA$ равно расстоянию $PB$, или, что эквивалентно, $PA^2 = PB^2$.

Квадрат расстояния между двумя точками $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$.

Найдем квадраты расстояний от точки P до точек A и B:

$PA^2 = (0 - (-2))^2 + (y - 3)^2 + (0 - 1)^2 = 2^2 + (y-3)^2 + (-1)^2 = 4 + y^2 - 6y + 9 + 1 = y^2 - 6y + 14$.

$PB^2 = (0 - 1)^2 + (y - 2)^2 + (0 - (-4))^2 = (-1)^2 + (y-2)^2 + 4^2 = 1 + y^2 - 4y + 4 + 16 = y^2 - 4y + 21$.

Приравняем полученные выражения:

$y^2 - 6y + 14 = y^2 - 4y + 21$

$-6y + 14 = -4y + 21$

$-2y = 7$

$y = -3.5$

Следовательно, искомая точка имеет координаты (0; -3.5; 0).

Ответ: (0; -3.5; 0).

Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим вершину A прямоугольного параллелепипеда в начало координат (0; 0; 0). Направим ось Ox вдоль ребра AB, ось Oy — вдоль ребра AD, а ось Oz — вдоль ребра $AA_1$.

Поскольку основанием является квадрат ABCD со стороной $AB = 4$ см, а высота $AA_1 = 8$ см, координаты необходимых вершин будут следующими:

A(0; 0; 0), B(4; 0; 0), D(0; 4; 0), $A_1$(0; 0; 8) и $C_1$(4; 4; 8).

Найдем координаты центроида (точки пересечения медиан) тетраэдра $AA_1BD$. Координаты центроида G равны среднему арифметическому координат его вершин:

$x_G = \frac{x_A + x_{A1} + x_B + x_D}{4} = \frac{0 + 0 + 4 + 0}{4} = 1$

$y_G = \frac{y_A + y_{A1} + y_B + y_D}{4} = \frac{0 + 0 + 0 + 4}{4} = 1$

$z_G = \frac{z_A + z_{A1} + z_B + z_D}{4} = \frac{0 + 8 + 0 + 0}{4} = 2$

Таким образом, координаты центроида G(1; 1; 2).

Теперь найдем расстояние между точкой $C_1$(4; 4; 8) и центроидом G(1; 1; 2) по формуле расстояния между двумя точками в пространстве $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$:

$d(C_1, G) = \sqrt{(4-1)^2 + (4-1)^2 + (8-2)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 9 + 36} = \sqrt{54}$.

Упростим полученное значение: $\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}$.

Расстояние от точки $C_1$ до центроида тетраэдра $AA_1BD$ равно $3\sqrt{6}$ см.

Ответ: $3\sqrt{6}$ см.

Самостоятельная работа № 2

Векторы в пространстве

1. Найдите точку $B_1$, являющуюся образом точки $B (4; -5; 3)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a} (-10; 5; 6)$. Найдите модуль вектора $\vec{B_1 B}$.

2. Даны координаты трёх вершин параллелограмма $ABCD$: $A (0; -2; 5)$, $B (-4; 2; 3)$ и $C (6; -4; -1)$. Используя векторы, найдите координаты вершины $D$.

3. Дан параллелепипед $ABCDA_1 B_1 C_1 D_1$. На отрезке $AC$ отметили точку $K$. Докажите, что векторы $\vec{B_1 K}$, $\vec{CB_1}$ и $\vec{DC_1}$ являются компланарными.

1.
Чтобы найти координаты точки $B_1(x_1; y_1; z_1)$, которая является образом точки $B(4; -5; 3)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}(-10; 5; 6)$, нужно к координатам точки $B$ прибавить соответствующие координаты вектора $\vec{a}$.
$x_1 = 4 + (-10) = -6$
$y_1 = -5 + 5 = 0$
$z_1 = 3 + 6 = 9$
Таким образом, координаты точки $B_1$ равны $(-6; 0; 9)$.
Теперь найдем модуль вектора $\vec{B_1B}$. Сначала определим его координаты, вычитая из координат конца (точки $B$) координаты начала (точки $B_1$):
$\vec{B_1B} = (4 - (-6); -5 - 0; 3 - 9) = (10; -5; -6)$
Модуль (длина) вектора вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$:
$|\vec{B_1B}| = \sqrt{10^2 + (-5)^2 + (-6)^2} = \sqrt{100 + 25 + 36} = \sqrt{161}$
Ответ: $B_1(-6; 0; 9)$; $|\vec{B_1B}| = \sqrt{161}$.

2.
В параллелограмме $ABCD$ векторы, образованные противоположными сторонами, равны. Например, $\vec{AB} = \vec{DC}$. Пусть искомая вершина $D$ имеет координаты $(x; y; z)$.
Найдем координаты вектора $\vec{AB}$, зная координаты точек $A(0; -2; 5)$ и $B(-4; 2; 3)$:
$\vec{AB} = (-4 - 0; 2 - (-2); 3 - 5) = (-4; 4; -2)$
Теперь выразим координаты вектора $\vec{DC}$ через координаты точек $C(6; -4; -1)$ и $D(x; y; z)$:
$\vec{DC} = (6 - x; -4 - y; -1 - z)$
Приравняем соответствующие координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$:
$6 - x = -4 \Rightarrow x = 6 + 4 = 10$
$-4 - y = 4 \Rightarrow y = -4 - 4 = -8$
$-1 - z = -2 \Rightarrow z = -1 + 2 = 1$
Следовательно, координаты вершины $D$ равны $(10; -8; 1)$.
Ответ: $D(10; -8; 1)$.

3.
Для доказательства компланарности векторов $\vec{B_1K}$, $\vec{CB_1}$ и $\vec{DC_1}$ достаточно показать, что один из них можно выразить как линейную комбинацию двух других. Введем базис, приняв за начало координат вершину $A$ параллелепипеда. Обозначим векторы, исходящие из этой вершины: $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$, $\vec{AA_1} = \vec{c}$. Эти три вектора некомпланарны.
Выразим векторы $\vec{B_1K}$, $\vec{CB_1}$ и $\vec{DC_1}$ через базисные векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$.
1. Точка $K$ лежит на отрезке $AC$. Следовательно, вектор $\vec{AK}$ коллинеарен вектору $\vec{AC}$, то есть $\vec{AK} = \lambda \vec{AC}$ для некоторого скаляра $\lambda \in [0, 1]$.
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$.
Тогда $\vec{AK} = \lambda(\vec{a} + \vec{b})$.
2. Выразим вектор $\vec{B_1K}$:
$\vec{B_1K} = \vec{AK} - \vec{AB_1}$.
$\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{a} + \vec{c}$.
$\vec{B_1K} = \lambda(\vec{a} + \vec{b}) - (\vec{a} + \vec{c}) = (\lambda - 1)\vec{a} + \lambda\vec{b} - \vec{c}$.
3. Выразим вектор $\vec{CB_1}$:
$\vec{CB_1} = \vec{AB_1} - \vec{AC} = (\vec{a} + \vec{c}) - (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{c} - \vec{b}$.
4. Выразим вектор $\vec{DC_1}$:
$\vec{DC_1} = \vec{AC_1} - \vec{AD}$.
$\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CC_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.
$\vec{DC_1} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - \vec{b} = \vec{a} + \vec{c}$.
Теперь проверим, существуют ли такие числа $x$ и $y$, что $\vec{B_1K} = x \cdot \vec{CB_1} + y \cdot \vec{DC_1}$.
$(\lambda - 1)\vec{a} + \lambda\vec{b} - \vec{c} = x(\vec{c} - \vec{b}) + y(\vec{a} + \vec{c}) = y\vec{a} - x\vec{b} + (x+y)\vec{c}$.
Так как векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ некомпланарны (линейно независимы), мы можем приравнять коэффициенты при них:
$\lambda - 1 = y$
$\lambda = -x \Rightarrow x = -\lambda$
$-1 = x + y$
Подставим выражения для $x$ и $y$ из первых двух уравнений в третье:
$-1 = (-\lambda) + (\lambda - 1)$
$-1 = -1$
Полученное тождество означает, что для любого положения точки $K$ на отрезке $AC$ (т.е. для любого $\lambda \in [0, 1]$) существуют такие коэффициенты $x = -\lambda$ и $y = \lambda - 1$, что вектор $\vec{B_1K}$ является линейной комбинацией векторов $\vec{CB_1}$ и $\vec{DC_1}$. Это доказывает, что векторы $\vec{B_1K}$, $\vec{CB_1}$ и $\vec{DC_1}$ компланарны.
Ответ: Доказано, что векторы являются компланарными.