Страница 11 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 19

Объём тела.

Формулы для вычисления объёма призмы

1. В прямоугольном параллелепипеде одна из сторон основания равна 8 см. Диагональ параллелепипеда равна 16 см и образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите объём параллелепипеда.

2. Основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ является треугольник $ABC$, в котором $AB = BC = a$, $\angle ABC = \beta$. Угол между плоскостью $AB_1C$ и плоскостью основания призмы равен $\gamma$. Найдите объём призмы.

3. Основанием наклонного параллелепипеда является квадрат со стороной 4 см. Две противолежащие боковые грани параллелепипеда — также квадраты, а две другие — ромбы с острым углом 60°. Найдите объём параллелепипеда.

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота. Пусть стороны основания равны $a$ и $b$, тогда $V = a \cdot b \cdot h$. По условию, одна из сторон основания равна $a = 8$ см.

Диагональ параллелепипеда $D$, его высота $h$ и диагональ основания $d$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания — это угол между диагональю $D$ и её проекцией на эту плоскость, то есть диагональю основания $d$. По условию, $D = 16$ см, и этот угол равен $45^\circ$.

Из этого прямоугольного треугольника находим высоту $h$ и диагональ основания $d$:
$h = D \cdot \sin(45^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$ см.
$d = D \cdot \cos(45^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$ см.

Основанием является прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Диагональ основания связана со сторонами по теореме Пифагора: $d^2 = a^2 + b^2$. Подставим известные значения $d = 8\sqrt{2}$ см и $a = 8$ см:
$(8\sqrt{2})^2 = 8^2 + b^2$
$128 = 64 + b^2$
$b^2 = 128 - 64 = 64$
$b = 8$ см.

Теперь можем вычислить объём параллелепипеда:
$V = a \cdot b \cdot h = 8 \cdot 8 \cdot 8\sqrt{2} = 512\sqrt{2}$ см³.

Ответ: $512\sqrt{2}$ см³.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

Основанием призмы является равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = BC = a$ и $\angle ABC = \beta$. Площадь этого треугольника равна:
$S_{осн} = S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} a^2 \sin(\beta)$.

Высота прямой призмы $h$ равна длине её бокового ребра, например, $BB_1$. Угол $\gamma$ между плоскостью $AB_1C$ и плоскостью основания $ABC$ — это двугранный угол. Его линейный угол можно построить, проведя перпендикуляры к линии пересечения плоскостей, которой является прямая $AC$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ проведём высоту $BH$ к основанию $AC$. Так как призма прямая ($BB_1 \perp$ плоскости $ABC$), то $B_1H$ является наклонной, а $BH$ — её проекцией на плоскость основания. По теореме о трёх перпендикулярах, так как $BH \perp AC$, то и наклонная $B_1H \perp AC$.

Следовательно, угол $\angle B_1HB$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $AB_1C$ и $ABC$, то есть $\angle B_1HB = \gamma$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $B_1BH$ (угол $\angle B_1BH = 90^\circ$). Из него находим высоту призмы $h = BB_1$:
$\tan(\gamma) = \frac{BB_1}{BH} = \frac{h}{BH}$, откуда $h = BH \cdot \tan(\gamma)$.

Длину высоты основания $BH$ найдём из прямоугольного треугольника $ABH$. В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BH$ является также и биссектрисой, поэтому $\angle ABH = \frac{\beta}{2}$.
$BH = AB \cdot \cos(\angle ABH) = a \cdot \cos(\frac{\beta}{2})$.

Подставим найденное $BH$ в формулу для высоты призмы:
$h = a \cos(\frac{\beta}{2}) \tan(\gamma)$.

Теперь вычислим объём призмы:
$V = S_{осн} \cdot h = \left(\frac{1}{2} a^2 \sin(\beta)\right) \cdot \left(a \cos(\frac{\beta}{2}) \tan(\gamma)\right) = \frac{1}{2} a^3 \sin(\beta) \cos(\frac{\beta}{2}) \tan(\gamma)$.

Ответ: $\frac{1}{2} a^3 \sin(\beta) \cos(\frac{\beta}{2}) \tan(\gamma)$.

Объём наклонного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота параллелепипеда.

Основанием является квадрат со стороной 4 см. Его площадь:
$S_{осн} = 4^2 = 16$ см².

Пусть основание — квадрат $ABCD$, а боковое ребро — $AA_1$. Из условия, две противоположные боковые грани — квадраты. Пусть грань $ABB_1A_1$ — квадрат. Тогда её сторона $AA_1$ равна стороне основания $AB$, то есть $AA_1 = AB = 4$ см. Также из того, что $ABB_1A_1$ — квадрат, следует, что боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно стороне основания $AB$ ($AA_1 \perp AB$).

Две другие боковые грани — ромбы с острым углом $60^\circ$. Рассмотрим грань $ADD_1A_1$. Это ромб со сторонами $AD=4$ см и $AA_1=4$ см. Острый угол этого ромба равен $60^\circ$, пусть это будет $\angle A_1AD = 60^\circ$.

В основании $ABCD$ стороны $AB$ и $AD$ перпендикулярны ($AB \perp AD$), так как это квадрат. Мы также знаем из условия, что $AA_1 \perp AB$. Поскольку ребро $AB$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым ($AD$ и $AA_1$) в плоскости грани $ADD_1A_1$, то ребро $AB$ перпендикулярно всей этой плоскости.

Если прямая, лежащая в одной плоскости (прямая $AB$ в плоскости $ABCD$), перпендикулярна другой плоскости (плоскости $ADD_1A_1$), то эти плоскости взаимно перпендикулярны. Таким образом, плоскость основания $ABCD$ перпендикулярна боковой грани $ADD_1A_1$.

Высота параллелепипеда $H$ — это длина перпендикуляра из точки $A_1$ к плоскости $ABCD$. Так как плоскость $ADD_1A_1$ перпендикулярна плоскости $ABCD$, этот перпендикуляр лежит в плоскости $ADD_1A_1$ и является высотой ромба $ADD_1A_1$, проведённой из вершины $A_1$ к стороне $AD$.

Найдём эту высоту из прямоугольного треугольника внутри ромба:
$H = AA_1 \cdot \sin(\angle A_1AD) = 4 \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь вычислим объём параллелепипеда:
$V = S_{осн} \cdot H = 16 \cdot 2\sqrt{3} = 32\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $32\sqrt{3}$ см³.

Самостоятельная работа № 20

Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды

1. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 8 см, а острый угол — $30^\circ$. Все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $60^\circ$. Найдите объём пирамиды.

2. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с основанием 6 см и боковой стороной 5 см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите объём пирамиды.

3. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 4 см, а двугранный угол пирамиды при боковом ребре — $120^\circ$. Найдите объём пирамиды.

1. Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.
1. Найдём площадь основания. Основанием является ромб со стороной $a = 8$ см и острым углом $\alpha = 30°$. Площадь ромба вычисляется по формуле $S = a^2 \sin \alpha$.
$S_{осн} = 8^2 \cdot \sin 30° = 64 \cdot \frac{1}{2} = 32$ см².
2. Условие равенства всех двугранных углов при рёбрах основания означает, что вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Высота пирамиды $H$, радиус вписанной окружности $r$ и двугранный угол $\beta = 60°$ связаны соотношением $H = r \cdot \tan \beta$.
3. Найдём радиус вписанной в ромб окружности. Высота ромба $h_{ромб} = a \sin \alpha = 8 \sin 30° = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см. Радиус вписанной окружности равен половине высоты ромба: $r = \frac{h_{ромб}}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.
4. Теперь можем найти высоту пирамиды $H$:
$H = r \cdot \tan 60° = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.
5. Наконец, вычислим объём пирамиды:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 32 \cdot 2\sqrt{3} = \frac{64\sqrt{3}}{3}$ см³.
Ответ: $\frac{64\sqrt{3}}{3}$ см³.

2. Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.
1. Найдём площадь основания. Основание — равнобедренный треугольник с основанием $a = 6$ см и боковыми сторонами $b = 5$ см. Сначала найдём высоту $h_{тр}$ треугольника, проведённую к основанию, используя теорему Пифагора:
$h_{тр} = \sqrt{b^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{5^2 - (\frac{6}{2})^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см.
Площадь основания: $S_{осн} = \frac{1}{2} a \cdot h_{тр} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$ см².
2. Условие, что каждое боковое ребро образует с плоскостью основания одинаковый угол $60°$, означает, что вершина пирамиды проецируется в центр описанной около основания окружности. Высота пирамиды $H$, радиус описанной окружности $R$ и угол наклона бокового ребра $\gamma = 60°$ связаны соотношением $H = R \cdot \tan \gamma$.
3. Найдём радиус описанной окружности $R$ по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника:
$R = \frac{5 \cdot 5 \cdot 6}{4 \cdot 12} = \frac{150}{48} = \frac{25}{8}$ см.
4. Найдём высоту пирамиды $H$:
$H = R \cdot \tan 60° = \frac{25}{8} \cdot \sqrt{3} = \frac{25\sqrt{3}}{8}$ см.
5. Вычислим объём пирамиды:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot \frac{25\sqrt{3}}{8} = 4 \cdot \frac{25\sqrt{3}}{8} = \frac{100\sqrt{3}}{8} = \frac{25\sqrt{3}}{2}$ см³.
Ответ: $\frac{25\sqrt{3}}{2}$ см³.

3. Объём правильной четырёхугольной пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.
1. Основанием пирамиды является квадрат со стороной $a = 4$ см. Его площадь:
$S_{осн} = a^2 = 4^2 = 16$ см².
2. Двугранный угол при боковом ребре равен $120°$. Построим его линейный угол. Для этого в плоскостях смежных боковых граней ($SAB$ и $SCB$) проведём перпендикуляры $AK$ и $CK$ к их общему ребру $SB$. Угол $\angle AKC$ является линейным углом двугранного угла и равен $120°$.
3. Треугольник $AKC$ — равнобедренный ($AK = CK$), его основание $AC$ — диагональ квадрата в основании пирамиды. Найдём $AC$:
$AC = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.
4. В равнобедренном треугольнике $AKC$ с углом при вершине $120°$ найдём длину боковой стороны $AK$ по теореме косинусов: $AC^2 = AK^2 + CK^2 - 2 \cdot AK \cdot CK \cdot \cos 120°$.
$(4\sqrt{2})^2 = 2AK^2 - 2AK^2 \cdot (-\frac{1}{2}) \Rightarrow 32 = 2AK^2 + AK^2 = 3AK^2$.
$AK^2 = \frac{32}{3}$.
5. Свяжем полученные данные с высотой пирамиды $H$. Пусть $l$ — длина бокового ребра, $h_s$ — апофема (высота боковой грани). Из прямоугольных треугольников внутри пирамиды имеем:
$l^2 = H^2 + (\frac{AC}{2})^2 = H^2 + (2\sqrt{2})^2 = H^2 + 8$.
$h_s^2 = H^2 + (\frac{a}{2})^2 = H^2 + 2^2 = H^2 + 4$.
Площадь боковой грани $SAB$ можно выразить двумя способами: $\frac{1}{2} l \cdot AK = \frac{1}{2} a \cdot h_s$. Отсюда $l^2 \cdot AK^2 = a^2 \cdot h_s^2$. Подставим все выражения:
$(H^2 + 8) \cdot \frac{32}{3} = 4^2 \cdot (H^2 + 4)$.
$(H^2 + 8) \cdot \frac{32}{3} = 16 \cdot (H^2 + 4)$.
Разделим обе части на 16:
$(H^2 + 8) \cdot \frac{2}{3} = H^2 + 4 \Rightarrow 2H^2 + 16 = 3H^2 + 12 \Rightarrow H^2 = 4 \Rightarrow H = 2$ см.
6. Вычислим объём пирамиды:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 2 = \frac{32}{3}$ см³.
Ответ: $\frac{32}{3}$ см³.